Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 113

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 335 >> Следующая


S = TTT- <5ЛЗ>

Интегрируя это уравнение, находим:

T5=C^I0, где a =-Jj-. (5.14)

Условимся понимать под X2 корень характеристического уравнения с ббльшим модулем (это, очевидно, не нарушает общности нашего рассмотрения). Тогда, поскольку в рассматриваемом случае X1 и Xa одного знака, а^>1, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа (рис. 214). Все интегральные кривые (кроме оси 1J, которой соответствует C= со) касаются в начале координат оси которая также является интегральной кривой уравнения (5.13). Начало координат является особой точкой. Как мы уже знаем, это — § 2] линейные системы общего типа

295

особая точка типа узла. Нетрудно выяснить направление движений на фазовой плоскости.

Если X1 и X9 отрицательны, то, как видно из уравнений (5.11), |?| и |т)| убывают с течением времени. Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, однако никогда его не достигая в конечное время, так как это противоречило бы теореме Коши, которая для системы (5.11) справедлива на всей плоскости т). Мы имеем дело с устойчивым узлом. Если X1 и X3 положительны, то и |т)| возрастают с течением времени и изображающая точка с течением времени удаляется от начала координат. Мы имеем дело с неустойчивым узлом.

Перейдем теперь обратно на фазовую плоскость дг, у. Как мы знаем, при этом не меняется общий качественный характер поведения интегральных кривых вокруг состояния равновесия, но касательные к интегральным кривым в особой точке уже не будут совпадать с осями координат. Представляет интерес выяснить направления касательных к интегральным кривым в особой точке на плоскости дг, у. Так как на плоскости ?, Tj такими касательными служили оси ? = 0 и Tj = O, то для ответа на этот вопрос достаточно выяснить, каким прямым на плоскости дг, у, соответствуют прямые S = O и Tj = O на плоскости Tj. Из уравнений (5.10) видно, что оси \ (т. е. прямой »1 = 0) на плоскости дг, у соответствует прямая

Рис. 214.

у дг -j- by = 0, или у = — дг,

(5.15)

проходящая через начало Координат и имеющая (согласно (5.12)) угловой коэффициент

„ _ T _ с _d -X8

в-^=TI-T-'

Аналогично оси Tj (прямой 5 = 0) на плоскости дг, у соответствует прямая

адг + §у = 0, или у = — j дг,

(5.16)

также проходящая через начало координат, но имеющая другой угловой коэффициент:

а _ с _d — X1 296

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ перВОгО ПОРЯДКА

[гл, iV

Нетрудно видеть, что угловые коэффициенты этих прямых совпадают с коэффициентами распределения X1 и ха, определяемыми соотношениями (5.7) или (5.8), и, следовательно, могут быть найдены как корни уравнения (5.9).

Прямые у = X1Jc и у = XiX служат, с одной стороны, интегральными кривыми для уравнения ^ = ^ ^ ^ (подобно тому как прямые E=O и і] = 0 служат интегральными кривыми" для уравнения

. С другой стороны, первая из них (она соответствует оси ;

на плоскости Е, Tj) служит касательной для всех интегральных кривых, кроме одной — прямой у = V. tx4). Пользуясь всем предыдущим,

нетрудно представить себе характер фазовых траекторий вокруг устойчивого (рис. 215) или неустойчивого (рис. 216) узла в общем случае, т. е. характер траекторий на фазовой плоскости х, у, когда X1 и Xa действительны и одинаковых знаков.

') Каждая из прямых у = X1X или y = /.sx не является одной траекторией, а состоит из трех траекторий (два движения к состоянию равновесия или от состояния равновесия и само состояние равновесия).

2) Направление для касательной к континууму интегральных кривых (в узле) определяется соотношениями (5.7) или (5.8) по корню характеристического уравнения X, с меньшим модулем. Если направления касательных к интегральным кривым в узле определяются без предварительного решения характеристического уравнения, а как корни уравнения (5.9), то направлению касательной к континууму интегральных кривых, очевидно, соответствует тот корень X, для которого выражение | а -)- Ы | имеет меньшее значение, так как согласно (5.7) Xa = а -(- Ьгк.

Рис. 215.

Рис. 216. § 2] линейные системы общего типа

297

2) Корни X1 и Xa действительны, но разных знаков. Преобразование от координат х, у к координатам т] опять действительное. На плоскости -ц точно так же имеет место каноническая система:

dJ=Krl, (5.11)

однако теперь X1 и Xa разных знаков.

Уравнение кривых на фазовой плоскости имеет вид

dr. ТІ

Щ = -аТ> где а =

(5.17)

Интегрируя это уравнение, находим:

Tl = CIS Г- (5.18)

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих обе оси координат асимптотами (при а= 1 мы имели бы семейство обычных равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми; это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат1) (рис. 217).

Начало координат и здесь, конечно, является особой точкой. Особая точка такого типа, как мы уже знаем, носит название «седла» (линии уровня вблизи горной седловины ведут себя как раз таким образом).

Известные уже нам соображения позволяют в этом случае установить характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, X1 0, a Xa <^0. Тогда изображающая точка, помещенная на оси будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси -ц будет неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его в конечное время. Направления движений по остальным фазовым траекториям легко указать, пользуясь соображениями непрерывности (рис. 217).
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed