Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 112

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 335 >> Следующая


2) Доказательство полностью аналогично тому, которое было проведено для простейших консервативных систем (см. гл. 11, § 2).

10' 292

динамические системы первого порядка

[гл, iv

уравнение (5.3) и находя его интегральные кривые, мы получаем одновременно и разбиение фазовой плоскости на фазовые траектории: фазовыми траекториями будут особые точки (состояния равновесия), интегральные кривые, не проходящие через особые точки, и дуги интегральных кривых, заключенные между двумя особыми точками (или между особыми точками и бесконечностью). Конечно, уравнение интегральных кривых (5.3) не дает нам никаких указаний о направлении движения изображающей точки по найденным фазовым траекториям, так как время из него исключено. Направление движения изображающей точки определяется из уравнений (5.1).

§ 2. Линейные системы общего типа

Рассмотрим сначала простейшие динамические системы вида (5.1), а именно те, которые отображаются системой двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

^ = ах+ by; ^j = cx-\-dy, (5.4)

где а, Ь, с, d — константы, причем лг и у мы будем считать декартовыми координатами на фазовой плоскости.

Как известно, общее решение системы (5.4) имеет вид')

(5.5)

лг = С,ехі' + С2еЧ v = C1x1 еМ + слеч

где X1 и X2 — корни характеристического уравнения

X2 — X (а + о?) + (ad — be) = 0, (5.6)

а так называемые «коэффициенты распределения» -X1 и *2 определяются соотношениями:

a—-Xft-I-^xft = O, 1

ft і в >i ^5

c + (d

+ bv.„ = 0, 1 -Xft) Xft = 0 j

(они составляют совместную систему уравнений, поскольку Xft — корни характеристического уравнения) или

X1 — а с Xa-а с /к. о\

х1 = — = хГ=3' /2 = -T-=xT=^r (5-8)

Отметим также, что

, X1 — а , )., — a d — a X1 — a Xs — а с

¦«і -h*»=S- і- s~ = -у 11 — ~Ъ ь~ = - T

') Мы предполагаем, что оба корня имеют отличные от нулей действительные части и что нет кратных корней. § 2] линейные системы общего типа 293

и, следовательно, коэффициенты распределения являются корнями уравнения

bv? -[ - (а — d) X — с = 0. (5.9)

Мы не будем исследовать характер движений во времени в зависимости от характера корней характеристического уравнения и не будем приводить решений к действительному виду в случае комплексных X и X'), а перейдем сразу к анализу характера возможных траекторий на фазовой плоскости.

Для этой цели мы используем, подобно тому как мы это делали в гл. 1 для частного случая a = Q, линейное однородное преобразование координат. Именно, с помощью линейного однородного преобразования

? = ал: + ?j;, 7I = TjcH-Sy (5.10)

приведем систему (5.4) к так называемому «каноническому» виду:

% = Ч, S = M, (5.11)

где X1 и X1 — какие-то, пока неизвестные, константы.

Нетрудно показать, что это всегда можно сделать при наших предположениях о характере корней уравнения (5.6). Дифференцируя формулы преобразования (5.10), имеем:

dL- .dJL — ydx ]?.dy

dt ~ dt ^ ? dt' dt~i dt ^ dt'

Заменяя здесь ^ и ^ их выражениями из основной дифференциальной системы (5.4), приходим к соотношениям:

X1 (ал: -j- Ry) = а (ах + + ? (сх -j- dy), Crjcr + Й-У) = T (ах Н~ by) -j- 8 (сх -j- dy).

Сравнивая здесь коэффициенты при х и у в правых и левых частях, приходим к системе четырех уравнений, линейных и однородных относительно а, ?, j, 8:

а (а-X1) +?c = 0, Т(а-Ха) + 8с = 0, \

ab Jr ? (rf — X1) = 0, Y ? + 8(d —Х,) = 0. J

Эти уравнения дают для а, ?, j, 8 решения, не равные тождественно нулю, только в том случае, если X1 и X2 являются корнями уравнения

Xі — (a + d) X + (ad — be) = 0, (5.6)

1J Нетрудно видеть, что X и ¦/¦ становятся одновременно комплексными, если 294

динамические системы первого порядка

[ГЛ, iV

т. е. корнями обычного характеристического уравнения. Каждая пара линейных однородных уравнений (5.12) определяет лишь отношение

неизвестных. Первая пара определяет отношение -j*-, вторая . Так

как по нашему предположению корни характеристического уравнения не равны между собой, то эти отношения не равны между собой, и, следовательно, а, ?, 8 могут быть выбраны так, чтобы детерминант

а р T 8

^0.

Отличие от нуля этого детерминанта обеспечивает возможность разрешения уравнений (5.10) относительно х и у и, следовательно, гарантирует взаимную однозначность преобразования. Таким образом, мы видим, что в невырожденном случае всегда возможно преобразовать нашу систему к каноническому виду.

Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.

1) Корни X1 и X2 действительны и одного знака. Тогда коэффициенты преобразования действительны, и мы имеем переход от действительной ПЛОСКОСТИ, X, у К действительной ПЛОСКОСТИ У] (мы будем интерпретировать преобразование фазовой плоскости в активном смысле). Наша задача заключается в исследовании преобразованной фазовой плоскости ?, ij, где имеет силу каноническая система

g = M, g = (5.11)

и затем в истолковании полученных результатов для исходной плоскости X, у.

Деля одно из канонических уравнений на другое, имеем:
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed