Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) Доказательство полностью аналогично тому, которое было проведено для простейших консервативных систем (см. гл. 11, § 2).
10'292
динамические системы первого порядка
[гл, iv
уравнение (5.3) и находя его интегральные кривые, мы получаем одновременно и разбиение фазовой плоскости на фазовые траектории: фазовыми траекториями будут особые точки (состояния равновесия), интегральные кривые, не проходящие через особые точки, и дуги интегральных кривых, заключенные между двумя особыми точками (или между особыми точками и бесконечностью). Конечно, уравнение интегральных кривых (5.3) не дает нам никаких указаний о направлении движения изображающей точки по найденным фазовым траекториям, так как время из него исключено. Направление движения изображающей точки определяется из уравнений (5.1).
§ 2. Линейные системы общего типа
Рассмотрим сначала простейшие динамические системы вида (5.1), а именно те, которые отображаются системой двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
^ = ах+ by; ^j = cx-\-dy, (5.4)
где а, Ь, с, d — константы, причем лг и у мы будем считать декартовыми координатами на фазовой плоскости.
Как известно, общее решение системы (5.4) имеет вид')
(5.5)
лг = С,ехі' + С2еЧ v = C1x1 еМ + слеч
где X1 и X2 — корни характеристического уравнения
X2 — X (а + о?) + (ad — be) = 0, (5.6)
а так называемые «коэффициенты распределения» -X1 и *2 определяются соотношениями:
a—-Xft-I-^xft = O, 1
ft і в >i ^5
c + (d
+ bv.„ = 0, 1 -Xft) Xft = 0 j
(они составляют совместную систему уравнений, поскольку Xft — корни характеристического уравнения) или
X1 — а с Xa-а с /к. о\
х1 = — = хГ=3' /2 = -T-=xT=^r (5-8)
Отметим также, что
, X1 — а , )., — a d — a X1 — a Xs — а с
¦«і -h*»=S- і- s~ = -у 11 — ~Ъ ь~ = - T
') Мы предполагаем, что оба корня имеют отличные от нулей действительные части и что нет кратных корней.§ 2] линейные системы общего типа 293
и, следовательно, коэффициенты распределения являются корнями уравнения
bv? -[ - (а — d) X — с = 0. (5.9)
Мы не будем исследовать характер движений во времени в зависимости от характера корней характеристического уравнения и не будем приводить решений к действительному виду в случае комплексных X и X'), а перейдем сразу к анализу характера возможных траекторий на фазовой плоскости.
Для этой цели мы используем, подобно тому как мы это делали в гл. 1 для частного случая a = Q, линейное однородное преобразование координат. Именно, с помощью линейного однородного преобразования
? = ал: + ?j;, 7I = TjcH-Sy (5.10)
приведем систему (5.4) к так называемому «каноническому» виду:
% = Ч, S = M, (5.11)
где X1 и X1 — какие-то, пока неизвестные, константы.
Нетрудно показать, что это всегда можно сделать при наших предположениях о характере корней уравнения (5.6). Дифференцируя формулы преобразования (5.10), имеем:
dL- .dJL — ydx ]?.dy
dt ~ dt ^ ? dt' dt~i dt ^ dt'
Заменяя здесь ^ и ^ их выражениями из основной дифференциальной системы (5.4), приходим к соотношениям:
X1 (ал: -j- Ry) = а (ах + + ? (сх -j- dy), Crjcr + Й-У) = T (ах Н~ by) -j- 8 (сх -j- dy).
Сравнивая здесь коэффициенты при х и у в правых и левых частях, приходим к системе четырех уравнений, линейных и однородных относительно а, ?, j, 8:
а (а-X1) +?c = 0, Т(а-Ха) + 8с = 0, \
ab Jr ? (rf — X1) = 0, Y ? + 8(d —Х,) = 0. J
Эти уравнения дают для а, ?, j, 8 решения, не равные тождественно нулю, только в том случае, если X1 и X2 являются корнями уравнения
Xі — (a + d) X + (ad — be) = 0, (5.6)
1J Нетрудно видеть, что X и ¦/¦ становятся одновременно комплексными, если294
динамические системы первого порядка
[ГЛ, iV
т. е. корнями обычного характеристического уравнения. Каждая пара линейных однородных уравнений (5.12) определяет лишь отношение
неизвестных. Первая пара определяет отношение -j*-, вторая . Так
как по нашему предположению корни характеристического уравнения не равны между собой, то эти отношения не равны между собой, и, следовательно, а, ?, 8 могут быть выбраны так, чтобы детерминант
а р T 8
^0.
Отличие от нуля этого детерминанта обеспечивает возможность разрешения уравнений (5.10) относительно х и у и, следовательно, гарантирует взаимную однозначность преобразования. Таким образом, мы видим, что в невырожденном случае всегда возможно преобразовать нашу систему к каноническому виду.
Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.
1) Корни X1 и X2 действительны и одного знака. Тогда коэффициенты преобразования действительны, и мы имеем переход от действительной ПЛОСКОСТИ, X, у К действительной ПЛОСКОСТИ У] (мы будем интерпретировать преобразование фазовой плоскости в активном смысле). Наша задача заключается в исследовании преобразованной фазовой плоскости ?, ij, где имеет силу каноническая система
g = M, g = (5.11)
и затем в истолковании полученных результатов для исходной плоскости X, у.
Деля одно из канонических уравнений на другое, имеем: