Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следует подчеркнуть, что для математического изучения движений подобных физических систем еще недостаточно систем дифференциальных уравнений (5.1): кроме закона движения, выражаемого системой уравнений (5.1), необходимо знать еще многообразие возможных состояний рассматриваемой системы, иначе говоря, фазовое пространство динамической системы, точки которого взаимно однозначно и непрерывно соответствуют состояниям системы2).
Но характер фазового пространства должен точно так же быть выведен из физической задачи, как- и вид дифференциальных уравнений. Если, например, мы знаем, что наша система приходит к прежнему состоянию при изменении X на 2тг, то этим самым имеем
') §§ 5 и 12 переработаны Н. А. Железцовым, § 1, § 3 (п. 1), § 7 (пп. 2, 3), §§ 9 и 11 написаны им заново.
2) Конечно, в рассматриваемом сейчас случае динамических систем второго порядка (с одной степенью свободы) фазовое пространство является двумерным, т. е. некоторой поверхностью, так как состояние системы полностью задается парой чисел х, у. 288
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ перВОгО ПОРЯДКА
[гл, iV
указания о характере фазового пространства, о его связности, о его «цилиндричности». Дифференциальные уравнения сами по себе еще не определяют характера возможных движений системы, характера возможных фазовых траекторий в фазовом пространстве, пока это пространство еще не выбрано. Чтобы пояснить это, рассмотрим простейшую линейную систему:
Если X и у— обычные декартовы координаты на фазовой плоскости, то фазовые траектории суть прямые линии. На фазовой плоскости мы имеем континуум «убегающих» движений. Если же х и у — ортогональные криволинейные координаты на торе (например, х — азимут меридиональной плоскости, а у — полярный угол с вершиной на оси тора), то фазовые траектории для той же системы дифференциальных уравнений образуют либо континуум замкнутых кривых (если а и b соизмеримы), т. е. континуум периодических решений, либо континуум траекторий, всюду плотно заполняющих поверхность тора (если а и b не соизмеримы), т. е. континуум так называемых квазипериодических решений. Этот пример показывает значение природы фазового пространства, его связности, для картины поведения фазовых траекторий. Общие законы поведения, определяемые одним и тем же уравнением интегральных кривых, будут различны в случае плоскости и тора.
В настоящей главе мы ограничимся наиболее важным для применений случаем, когда фазовая поверхность представляет собой обычную плоскость. Позже, в гл. VII, на примерах мы коснемся имеющего существенное значение для механики случая цилиндрической фазовой поверхности, а в гл. VIII рассмотрим также несколько систем с многолистной фазовой поверхностью.
§ 1. Фазовые траектории и интегральные кривые на фазовой плоскости
Итак, будем рассматривать систему двух автономных дифференциальных уравнений первого порядка:
%=Р(х, У)> Zft = Qix, у), (5.1)
описывающих движения некоторой динамической системы второго порядка'), предполагая, что состояния этой динамической системы взаимно однозначно и непрерывно соответствуют точкам фазовой
') Заметим, что если бы мы имели одно уравнение второго порядка Jc = =/(лг, jc), то заменой х=у мы всегда могли бы привести его к виду X= у, y=f(x, у), Т. е. к виду (5.1). § 1] фазовые траектории и интегральные кривые 289
плоскости X, у. Функции Р(х, у) и Q(x, у) будем полагать аналитическими (на всей фазовой плоскости)').
Условия теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений (см. Дополнение 1) для уравнений (5.1), очевидно, выполнены, и поэтому существует единственная система функций: x = x(t), y=y(t), удовлетворяющая уравнениям (5.1) и заданным начальным условиям: х = х9, у=у0 при t = t0. Так как решение зависит от начальных условий, то иногда, для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы будем записывать такое решение в следующем виде:
x = y(t — tQ\ xQ, _у0), y = <\(t — tQ\ xQ, _y0)s). (5.2)
Отметим, что ср и ф являются аналитическими функциями не только времени t, но и координат начального состояния системы у0.
Всякое решение (5.2) (с заданными _у0, Z0) мы можем рассматривать как параметрическое уравнение некоторой кривой на фазовой плоскости х,у, которая пробегается изображающей точкой при заданном движении системы. По принятой нами терминологии такие кривые носят название фазовых траекторий.
С другой стороны, решение (5.2) мы можем рассматривать и как уравнения кривых в пространстве х, у, t—-как уравнения интегральных кривых системы уравнений (5.1). Ясно, что каждая фазовая траектория является проекцией на фазовую плоскость некоторой интегральной кривой в пространстве х, у, t3). Более того, в силу автономности уравнений (5.1) все их интегральные кривые (5.2) с одинаковыми Уо, но с различными ta образуют в пространстве х, у, t цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси t, и, следовательно, проектируются на одну и ту же фазовую траекторию на фазовой плоскости (рис. 213). Иными словами, каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга лишь началом отсчета времени.
