Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 210. Рис. 211.
его состоянием перед скачком (U[ и U2 однозначно определяются соответственно по Ui и Ui).
Таким образом, колебания в мультивибраторе оказываются периодическими и состоят из медленных изменений напряжения и (с конечной скоростью) от Ui до Ui и от Ui до Uv подчиняющихся уравнению (4.41), и скачкообразных изменений от Ui до U\ и от U2 до Ui, определяемых условиями скачка. На рис. 210, а этому периодическому движению соответствует замкнутая кривая абвга (участки бв и га соответствуют «медленным», с конечной скоростью, а участки аб и вг — «быстрым», скачкообразным изменениям напряжения и). Осциллограммы колебаний напряжений и, v и иа2 приведены на рис. 211. Колебания напряжения v на конденсаторе С непрерывны и имеют «пилообразную» форму, а колебания анодного напряжения иа2 лампы JI2 близки к «прямоугольным», § 7]
мультивибратор с одной /?С-цепью
285
Для определения периода автоколебаний нужно проинтегрировать уравнение (4.41) или
dt = —С (Ra +Rg) 1 +
RaRs
р'Н?
(4.45)
Ra Ч" Rg
в пределах от и = U\ до U = Ui и от и = U[ до и = Ui, так как длительность скачкообразных изменений напряжения и предполагается равной нулю. Для вычисления периода можно ограничиться простейшей симметричной кусочно-линейной характеристикой ламповой группы (рис. 212, а). В областях, по которым нужно производить интегрирование, — в области отсутствия тока и в области тока насыщения (г = Im = 2S0?/0) эта характеристика достаточно удовлетворительно отображает свойства реальной ламповой группы (ламп с общим катодным сопротивлением). В этих областях ср' (0) = 0, уравнение (4.41) является линейным:
W-U0
и=+ип
а1
du
C(Ra + Rg) Tt + " = 0
Ч7' о
б
' I I I I I — I I ..........і ! v.
и; иґ-и0 uf+u0 и; ю
Рис. 212.
и легко интегрируется. В результате интегрирования получается сравнительно простая, весьма характерная для процессов подобного рода формула для периода '):
T= 2С(Ra + Rg) In (2К— 1),
(4.46)
где, как и раньше,
^_ SllRa
__ "+?'
') Зависимость напряжения и на конденсаторе С от напряжения и на сетке лампы JI3 во время «медленных» движений изображена на рис. 212,6. Согласно уравнению (4.44) для участка бв имеем:
l+&JU[ = RaIm-(l+ jgj U0, т. е. U11 = U0 (2К-1).
Поэтому длительность «медленного» движения по участку бв равна
С (/?» + /?,) In (2АГ-1).
В силу симметрии характеристики ламповой группы длительность «медленного» движения по участку га будет такой же; поэтому для полного периода получается формула (4.46).
Ra. 286
динамические системы первого порядка
[гл, iv
В эту формулу помимо постоянной времени С (Ra -)- Rg) входит еще и логарифмическая зависимость от коэффициента К, из которой следует, что при приближении к границе возбуждения (при К—> 1) быстро возрастает частота колебаний. Частота колебаний возрастает также и при уменьшении емкости С. Однако, строго говоря, при больших частотах колебаний мы уже не можем рассматривать мультивибратор как систему с 1Ji степени свободы (без фактического учета малых паразитных емкостей схемы), так как в этом случае их роль настолько существенна, что колебания перестают быть разрывными и приближаются по своей форме к синусоидальным.
Итак, мы смогли рассмотреть колебания в мультивибраторе, «дополнив» его динамическую модель первого порядка постулатом о скачках напряжения на сетке и лампы JJi. В такой «дополненной» динамической модели напряжение и на интервале U't<^u<^U[ уже не определяет однозначно состояния системы, так как при этих напряжениях мы имеем различные законы движения в зависимости от того, какое движение («медленное» или «быстрое», скачкообразное) имеет место. В соответствии с этим фазовой линией для модели, дополненной постулатом о скачках, будет не прямая и, а линия «с наложениями», изображенная на рис. 210, б и топологически эквивалентная линии ахаб и в^вг на рис. 210, а. На участках а^а и в^в движение определяется уравнением (4.41), а скачки из а в б и из в в г, изображенные тонкими линиями, — постулатом о скачках напряжения и
^ = -[-оо на участке аб и ^ = — со на участке вг^. Фазовая
линия, как и в других примерах, разобранных в § 7 настоящей главы, допускает замкнутую фазовую траекторию, которая соответствует разрывным периодическим колебаниям мультивибратора.
На этом мы закончим рассмотрение динамических систем первого порядка (к рассмотрению разрывных колебаний в таких системах мы вернемся в гл. X) и перейдем к рассмотрению динамических систем второго порядка. ГЛАВА V
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА1)
Мы будем рассматривать в этой главе автономные динамические системы второго порядка (с одной степенью свободы), т. е. такие динамические системы (динамические модели реальных физических систем), движение которых отображается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:
~ = Р(Х, у), % = Q(x, У). (5.1)
Такие системы представляют собой наиболее общий случай среди тех, которые составляют сейчас предмет нашего рассмотрения. Как уже было сказано, к двум уравнениям первого порядка приводит (при соответствующих упрощающих предположениях), например, исследование различных электротехнических и радиотехнических схем, в частности, рассмотрение лампового генератора при обычных упрощающих предположениях; к таким же задачам приводит исследование многих механических систем, исследование ряда вопросов динамики полета и т. д.
