Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Другой путь, дающий возможность рассмотреть колебания в мультивибраторе, состоит в «исправлении» динамической модели первого порядка путем введения некоторых дополнительных постулатов, которые указывали бы закон движения системы из состояний U = Ui и U = Ui, заменяя уравнение (4.41) на определенных этапах колебаний. Эти дополнительные постулаты устанавливаются или на основании экспериментальных данных о колебательных процессах в мультивибраторе и некоторых дополнительных физических соображений, или же путем рассмотрения «более полной» динамической модели с фактическим учетом существенных паразитных параметров, но полагая их достаточно малыми (точнее, стремящимися к нулю). Последний метод будет нами использован в гл. X при рассмотрении ряда колебательных систем с «разрывными» колебаниями').
Сейчас же мы рассмотрим колебания мультивибратора, пользуясь динамической моделью первого порядка, дополненной постулатом о скачках напряжения и на сетке лампы Jli. Известно, что мультивибратор при 1 совершает автоколебания, которые носят «разрывный» характер: сравнительно медленные изменения напряжения и периодически сменяются весьма быстрыми. Скорости последних определяются скоростями перезаряда паразитных емкостей схемы и тем больше, чем меньше паразитные емкости (наиболее существенными из них являются емкости Ca и Cg). При достаточно малых паразитных емкостях мы можем рассматривать эти быстрые изменения напряжения как бесконечно быстрые, как мгновенные, скачкообразные.
В соответствии с этим мы дополним нашу динамическую модель мультивибратора постулатом о том, что в модели наряду с движениями,
') Разрывными колебаниями называются такие колебания, при которых наряду с сравнительно медленными изменениями состояния имеются и весьма быстрые изменения состояния системы. Мультивибратор является типичным представителем генераторов разрывных колебаний. мультивибратор с одной RC-цепью
283
подчиняющимися уравнению (4.41), могут иметь место мгновенные, скачкообразные изменения напряжения и, которые, конечно, уравнению (4.41) не подчиняются. Уравнение (4.41) заведомо не пригодно для описания движения системы после того, как последняя пришла в состояние Il = Ui или в состояние Il = Ui, поэтому мы предположим, что из этих состояний система выходит путем скачка в такие состояния, в которых уравнение (4.41) снова определяет закон движения. Для определения состояний, в которые система перескакивает, необходимо привлечь дополнительные физические соображения. Предположим, что в схеме не может быть бесконечных напряжений и токов. Тогда в силу нашего предположения ток заряда конденсатора ^dv
Свсегда ограничен; следовательно, при скачках напряжения и
напряжение V на конденсаторе С изменяться не будет, так как иначе
dv „
= сю, что невозможно. Этого условия непрерывности напряжения
на конденсаторе С («условия скачка») в рассматриваемой задаче достаточно для однозначного определения состояния, в которое приходит система в результате скачка ').
dv
Исключая из уравнений (4.40) C-^t, мы получим v как функцию напряжения и:
V = F (a) = Ea-RaCр (н) _ (1 + н (4.43)
(само собой разумеется, что это соотношение справедливо только для тех состояний мультивибратора, для которых соблюдается уравнение (4.41) или, что то же самое, уравнения (4.40)). Очевидно, что V является однозначной и непрерывной функцией н. Ее график при 1 приведен на рис. 210, а (нетрудно видеть, что при U = Ui и и = Ui F (и) = 0). Поскольку состояния мультивибратора непосредственно перед скачком (U = Ui или U=Ui) и после скачка (и = Ui или соответственно и = Ui) таковы, что для них справедливо уравнение (4.41), а следовательно и соотношение (4.43), и при скачке
') В других задачах, например в задаче о колебаниях двух связанных между собой мультивибраторов [37], условия непрерывности напряжений на конденсаторах при скачках недостаточно для однозначного определения состояний системы после скачков. В этих случаях приходится делать некоторые дополнительные предположения для однозначного определения этих состояний.
Если же закон скачков в системе получается на основании предельного рассмотрения «более полной> динамической модели (с учетом существенных паразитных параметров, но считая их стремящимися к нулю), то состояния системы после скачков всегда определяются однозначно без каких-либо дополнительных условий (см. гл. X). Заметим, что подобное предельное рассмотрение «более полной» динамической модели мультивибратора (см. § 4 гл. X) показывает, что при скачках напряжение v действительно не изменяется, а скачки начинаются не только при U = U1 и U=U2, но и при любых и на интервале U1CUC Ut. 284 динамические системы первого порядка [гл, iv
не изменяется, состояние мультивибратора (к= U)) непосредственно после скачка из состояния Uj (у= 1,2) определяется уравнением
F(Uj) = P(U))
или
Ra ? (U1J) + (1 + 7= ? W + (1 + Ur (4-44)
Графическое решение этого уравнения дано на рис. 210, а. Очевидно, состояние мультивибратора после скачка однозначно определяется
