Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
допускает единственную замкнутую фазовую траекторию абвга, в нашей системе возможен только единственный периодический процесс.
При помощи этой фазовой линии легко проследить за движением системы в разных случаях. В том случае, когда R достаточно мало и положение равновесия устойчиво (оно лежит при E^-U1 на полупрямой (//)), сразу после присоединения лампы к конденсатору она вспыхнет, и после этого напряжение на лампе и ток через нее начнут уменьшаться. Скорость изменения напряжения на зажимах лампы будет определяться параметрами схемы, т. е. уравнением (4.30), но во всяком случае она будет конечной. Уменьшение напряжения и будет продолжаться до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние равновесия U=U (рис. 198), в котором схема и останется (строго говоря, будет иметь место асимптотическое при со приближение системы к
этому состоянию равновесия).
Если же R настолько велико,что на полупрямой (II) нет состояния равновесия (напомним, что в этом случае состояние равновесия лежит на падающем участке характеристики лампы и неустойчиво),
то теперь на всей полупрямой (II) ^0 и, поскольку на полупрямой (Г) ~ 0 (ибо Е^> U1), в схеме после первого же зажигания или
(И
Рис. 198. 276
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
гашения неоновой лампы установится периодический процесс, изображаемый на фазовой линии замкнутой фазовой траекторией абвга или замкнутой кривой АБВВ'ГА'А на плоскости и, і (рис. 199). Участок абв этой замкнутой фазовой траектории соответствует
процессу заряда конденсатора С через сопротивление R при погашенной лампе, участок вга — разряду конденсатора через горящую неоновую лампу.
Осциллограммы колебаний, т. е.
вид кривых и (t), і (/) и Ic = C ,
даны на рис. 200. Вид этих кривых вначале, до установления периодического процесса, зависит от начальных условий. Так, например, если в начальный момент и0 = Е (схема включается путем замыкания ключа Bi на рис. 201; ключ B1 был замкнут раньше), то характер установления будет таким, как это изображено на рис. 202. Если же в начальный момент H0 = O (ключ Bi замкнут и схема включается замыканием ключа
B1 на рис. 201), то характер установления будет иной, изображенный на рис. 203.
Мы нарисовали качественную картину автоколебаний в схеме с неоновой лампой. Для того чтобы определить их количественные характеристики (период, амплитуду, вид осциллограмм), нужно задаться конкретным видом нелинейной функции г = ф (к). Проведем вычисления для кусочно-линейной функции 9 (и), график которой
і . ' * ' • //
а o S
Рис. 199. § 61 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
277
состоит из прямолинейных отрезков (рис. 204). Пусть устойчивые участки статической характеристики лампы (падающего участка
R
-Wmr
3,
Рис. 201.
Рис. 202.
характеристики мы не будем рассматривать) заданы уравнением j 0 на полупрямой (I) (при погашенной лампе),
^ і U R^" на П0ЛУПРЯМ0Й (Щ (ПРИ горящей лампе)
( ,, UsI1-U1U^r, г, U1-U, постоянные U0=-lJ-T-l^-=CCZ2 и Ri= —имеющие соответ-
\ Ii — '2 'і — 'а
ственно размерности напряжения и сопротивления, характеризуют свойства
горящей лампы
U2 и,
(Ш
Рис. 203.
(I) а «в
Рис. 204.
Начнем рассмотрение с того момента, когда лампа погасла и изображающая точка находится в положении а (рис. 204). На участке абв (лампа не горит, / = 0) имеем следующее уравнение движения:
(4.32)
RC^ = E-и.
Так как E^Uit то напряжение и на конденсаторе будет увеличи du
ваться ^при u<^Ui Oj и через некоторый интервал времени x1
достигнет напряжения зажигания U1. Поскольку решением уравнения (4.32), удовлетворяющим начальному условию U = Ui при / = 0,
и = Е — (Е — Ui) е
RC
(4.33) 278 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [гл, IV
является ^1 определяется соотношением
Ui = E — (E — Ui)e'
или
Tl RC
T1 = RC In Y=Ul- (4-34)
После того как лампа вспыхнет, уравнение движения примет вид
P du_E — и и — U0
at R RT'
RR-
Вводя обозначение р = ' приведем это уравнение к виду
R -г Ri
„ U^ E . U0
Пусть — ЧТО имеет место при
= (4.36)
'S
Тогда при Ui<^u<^Ui ^ 0, напряжение на конденсаторе будет
уменьшаться, так как ток разряда конденсатора через горящую неоновую лампу при R Rkp всегда больше тока заряда через сопротивление R; через некоторый промежуток времени т2 конденсатор разрядится до напряжения Ui и лампа погаснет. Решение уравнения (4.35) при начальном условии U = Ui при * = 0 таково:
T = + (4-37)
Подставляя U = Ui при t — Xi и разрешая относительно ig, получим:
I
*а = рС1п
U1
P R Ri р R Ri
U1-U0 , Ui-U0
или, приняв во внимание, что —5—- = Ii и -^— = L,
Hi Hi
Период автоколебаний равен
X = T1+ T3. (4.39) МУЛЬТИВИБРАТОР С ОДНОЙ /?С-ЦЕПЫО
279
Таким образом, мы получили аналитические выражения как для периода автоколебаний, так и для определения формы осциллограммы. Осциллограмма автоколебаний напряжения на конденсаторе С состоит из кусков экспонент (см. уравнения (4.33) и (4.37)) и по форме весьма отлична от синусоидальной. Период автоколебаний пропорционален емкости конденсатора С и зависит более сложным образом от остальных параметров схемы и неоновой лампы. На рис. 205 изображена качественная зависимость периода автоколебаний т от напряжения батареи E при постоянных прочих параметрах. Автоколебания существуют только при Ui EZrltp = = Ui-^-RIi. При Е, приближающемся как к Ui, так и к Zrltp, т—>-}-оо (в первом случае к бесконечности стремится T1, во втором — т.2).
