Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
і
поэтому изменение тока через неоновую лампу не может совершаться мгновенно. Но поскольку мы пренебрегаем этими факторами, мы будем считать, что ток через неоновую лампу при ее зажигании и гашении изменяется от 0 до I1 и от Ii до 0 мгновенно, скачком.
В то же время, несмотря на скачки тока, напряжение и изменяется непрерывно, так как скачкообразные изменения этого напряже-
ния = OOl связаны с бесконечными токами (ток заряда конденса-
тора ic = C-jj\ и напряжениями, что мы считаем в нашей схеме невоз-
можным. Поэтому изменения тока і через неоновую лампу при ее зажигании (при и = U1) и при ее гашении (при и = Ui) происходят так, как указано на рис. 196, а стрелками'). Пунктирный участок M1Mi статической характеристики неоновой лампы, «мимо» которого проскакивает изображающая точка, обычно не осуществляется в статическом режиме из-за его неустойчивости. Характеристика, приведенная на рис. 196, а, в основных чертах совпадает с той характеристикой, которая может быть снята экспериментально.
Состояния равновесия системы определяются из условия f (Il) = O, т. е. из уравнения
Рис. 196.
E— и , .
(4.31)
') Тем самым мы считаем, что во время этих быстрых (скачкообразных) изменений тока і через неоновую лампу ток і уже не определяется статической характеристикой г = <р(«), а система не подчиняется уравнению (4.30). 274
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
Чтобы найти корни этого уравнения, строим кривую і= у (и) и
E — и г.
прямую і =—-— и находим их точки пересечения. В том случае, H
когда E^U1, т. е. когда напряжение батареи больше напряжения зажигания лампы (а мы этим одним случаем и ограничим наше рассмотрение), существует только одна точка пересечения ста-
F —и
тической характеристики і = <р(и) и «нагрузочной» прямой i =——,
причем положение этой точки пересечения зависит от значений параметров EnR (рис. 196, б). Устойчивость этого состояния равновесия и = U определяется, как мы уже знаем, знаком f (и). Легко убедиться, что если состояние равновесия лежит на восходящем участке характеристики, то оно устойчиво, если же оно лежит на падающем участке, то неустойчиво1). Следовательно, для каждого E^U1 мы можем, увеличивая R, перейти от устойчивого состояния равновесия к неустойчивому, причем чем больше Е, тем больше должно быть то критическое сопротивление Rkp, при котором точка пересечения переходит на нижний, падающий участок характеристики, и единственное состояние равновесия становится неустойчивым.
Ограничимся рассмотрением колебаний в схеме с неоновой лампой, начинающихся из таких начальных состояний, для которых точка (н, г), изображающая состояние неоновой лампы, лежит или на участке I = 0, или на восходящем участке статической характеристики'1). В этом случае мы можем совсем не принимать во внимание падающего участка характеристики, так как неоновая лампа
') Последний результат находится в некотором противоречии с экспериментальными данными. Оказывается, состояние равновесия на падающем участке будет устойчивым, если сопротивление R будет достаточно большим, а емкость С — достаточно малой (см. § 5 гл. V). Это обусловлено стабилизирующим действием инерционности газового разряда, конечными скоростями установления стационарных состояний в неоновой лампе. Вывод о неустойчивости состояния равновесия на падающем участке характеристики, равно как и все наше рассмотрение задачи о колебаниях в схеме с неоновой лампой, справедлив только при достаточно больших емкостях С, при которых колебания в схеме достаточно медленны.
2) Если бы нас интересовали колебания, начинающиеся из других начальных состояний (даже из тех, которые лежат на падающем участке характеристики), то для их рассмотрения наша динамическая система первого порядка непригодна. Мы должны выйти за ее пределы и учесть существенные малые паразитные параметры из числа тех, которыми мы сейчас пренебрегаем (необходимо, в частности, учесть инерционность газового разряда и вместо статической характеристики неоновой лампы взять дифференциальное уравнение, отображающее динамику газового разряда). Однако это не представляет особого интереса, так как весьма быстро (через несколько сотен микросекунд) схема придет в состояние, соответствующее какой-либо точке на участке 1 = 0 или на восходящем участке статической характеристики лампы, и дальнейшие колебания в ней будут описываться рассматриваемой здесь динамической системой первого порядка (см. § 7 п. 1 гл. X). § 61 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
275
а)
I щ
м,
o)
(I)
U1
S
а o в Рис. 197.
Ж
никогда не придет в состояния, изображаемые точками этого падающего участка.
Тогда ток і через неоновую лампу будет двузначной функцией напряжения и на интервале U2<^u U1 и однозначной вне этого интервала (рис. 197, а). В соответствии с этим, как и в предыдущей задаче, фазовой линией будет линия «с наложением» (рис. 197, б), состоящая из двух полупрямых (/) IK^U1 и (//) и^>иъ, первая из которых соответствует состояниям системы с погашенной, а вторая — состояниям с горящей неоновой лампой. При этом переход изображающей точки с одной полупрямой на другую (зажигание и гашение неоновой лампы) происходит соответственно при U=U1 и и = Ui, т. е. в концевых точках этих полупрямых. Поскольку фазовая линия
