Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
-----
/ \ / \ / \ / (4.26)\ / \ /(4.27) Ч t, Ч ч N S
— J —> (
Рис. 194.
откуда
, С , 63 'I==ZCln вГ
Аналогично интервал времени в течение которого нагреватель§ 61 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
271
включен и температура возрастает от B1 до S9, определяется в согласии с (4.27) выражением
к
или
"7O А
,C1 TT
—^ln w0 • Таким образом, период автоколебаний
( Ъ
T = Z1 + Z2 = Ц In 1„-*-
I К
— 1
T = I In ±-. (4.29)
-1
Ясно, что чем Уже зона двузначности характеристики регулятора (чем ближе 8, к 62), тем меньше период автоколебаний, тем чаще происходят переключения регулятора (включения и выключения нагревателя печи)').
2. Колебания в схеме с неоновой лампой. В качестве второго примера динамической системы с 1/2 степени свободы, колебания
1) При постановке рассмотренной задачи о двухпозиционном регуляторе температуры мы считали, что температура в печи в каждый момент времени одинакова по всему объему печи. Это, конечно, справедливо только при достаточно медленных колебаниях температуры (настолько медленных, что в каждый момент времени распределение температуры по объему печи достаточно мало отличается от равномерного). Если учесть конечную скорость теплообмена между отдельными частями объема печи, то мы придем к динамической системе более высокого порядка или даже к распределенной системе. Температура печи в автоколебательном режиме будет несколько выходить за пределы зоны двузначности характеристики регулятора, а период автоколебаний не будет стремиться к нулю при приближении 6i к 6.J, что находится в полном соответствии с экспериментальными данными о работе двухпозиционных регуляторов.
Рассмотренная нами динамическая модель двухпозиционного регулятора температуры дает удовлетворительное согласие с экспериментальными результатами только при достаточно~широкой зоне двузначности и ири наличии достаточно интенсивного теплообмена между отдельными частями объема печи.272
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
которой описываются дифференциальным уравнением первого порядка (4.1) с двузначной правой частью, мы рассмотрим схему релаксационного генератора с неоновой лампой (рис. 195)Подобная схема
рассматривалась Ван-дер-Полем, Фридленде-
I-W_. ' . ром и др. [152, 153, 188, 146, 143].
_L+ 'с I При рассмотрении этой схемы мы не будем
ф/ и-+-С Ш учитывать никаких паразитных параметров
элементов схемы и будем считать, что сила тока і через неоновую лампу является функ-
Рис. 195. цией напряжения и на ней и определяет-
ся статической характеристикой лампы I = ср (и)9). В результате этого мы придем к динамической системе с 1/2 степени свободы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:
r du і ._E — и
~dt ' 1 R
или
Tt = Ж № ~и -rV (к)}= /<")¦ <4-3(Г>
Нелинейность этой схемы обусловлена присутствием в ней неоновой лампы, для которой связь между током і и напряжением и не определяется законом Ома, а выражается нелинейной зависимостью і = = ср (и), имеющей гистерезисный характер. Наиболее типичные черты статической характеристики неоновой лампы, которые играют существенную роль в рассматриваемых нами процессах и которые мы будем учитывать, таковы: при малых напряжениях лампа совсем не пропускает тока («не горит»), ток в лампе возникает только при определенном напряжении U1—напряжении зажигания. При этом сразу устанавливается некоторая сила тока I1, отличная от нуля. При дальнейшем увеличении напряжения и сила тока возрастает по закону, близкому к линейному. При уменьшении напряжения, когда напряжение достигает значения U1 (при «горящей» лампе), лампа еще не гаснет. При дальнейшем уменьшении и сила тока через лампу по-
1J Заметим, что рассмотрение тиратронного генератора пилообразных напряжений аналогично рассмотрению схемы с неоновой лампой.
2) Таким образом, мы предполагаем, что в каждый момент времени состояние неоновой лампы не отличается от статического (от установившегося режима при соответствующем постоянном напряжении и на неоновой лампе).
Это, очевидно, можно делать только при достаточно медленных процессах
в схеме, когда скорости изменения и значительно меньше скоростей установления газового разряда в неоновой лампе. Время установления газового разряда в неоновой лампе имеет величину порядка сотен микросекунд. Поэтому результаты, которые будут получены ниже для периодических колебаний в рассматриваемой схеме, будут справедливы только для схем, частоты колебаний которых не превышают (по порядку величины) десятка тысяч колебаний в секунду.§ 61
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
273
степенно уменьшается, наконец, лампа сразу гаснет при некотором напряжении Ui— напряжении гашения и при токе It, причем Ui^Ui и Все эти существенные для рассматриваемого генератора
с неоновой лампой черты статической характеристики г = ср(и) передаются кривой, изображенной на рис. 196, а.
Конечно, в действительности цепь неоновой лампы обладает некоторой малой паразитной самоиндукцией и установление газового разряда требует малого, но все же конечного промежутка времени;