Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Во всех выражениях (4.20) — (4.23) и ниже мы должны считать, что Только в этом случае N>0 и тормозные колодки поджаты к огра ничительному кольцу.
8) ш0 можно в некоторых пределах изменять путем перемещения ограни чительного кольца. 266
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
значении момента M система имеет единственный и притом устойчивый режим равномерного вращения, или же имеет S-образную форму (рис. 190, б). В последнем случае при Мі<^М<^Мг система имеет три режима равномерного вращения со скоростями Q1, S2 и S3, два из которых (S = S1 и S = S3) устойчивы и один (S = S2) неустойчив. Значения M = M1 и M = Mi являются бифуркационными. При переходе момента M через них в системе имеют место переходы из одного режима равномерного вращения в другой 1J.
В рассмотренных нами динамических системах первого порядка единственными стационарными движениями были состояния равновесия. В них не было никаких периодических движений. Это понятно, так как мы ограничивались рассмотрением систем, движение которых подчинялось уравнениям первого порядка
с однозначными правыми частями (с однозначными функциями f(x)) — уравнениям, которые вообще не допускают периодических решений. Действительно, если бы такое периодическое движение происходило, то система должна была бы дважды проходить через одно и то же значение X в противоположных направлениях, т. е. с двумя различ-
dx
ними значениями скорости , что невозможно в силу однозначности функции /(аг).
Периодические движения в системах первого порядка становятся возможными только в тех случаях, когда правая часть уравнения (4.1) — функция /(аг) — неоднозначна хотя бы на некотором интервале изменения X.
Примером может служить уравнение движения гармонического осциллятора с заданной полной энергией h:
1J Наша динамическая модель фрикционного регулятора не имеет никаких периодических колебаний, любое ее движение заканчивается приходом в устойчивый режим равномерного вращения. Между тем при некоторых условиях в реальных фрикционных регуляторах не имеется устойчивого режима равномерного вращения и в них возникают автоколебания [132,9]. Для объяснения самовозбуждения регулятора и установления автоколебаний необходимо отказаться от предположения, что все части регулятора являются абсолютно жесткими, и учесть большую, но конечную жесткость плоских пружин, на которых укреплены тормозные колодки. Это приведет к рассмотрению динамической модели с полутора степенями свободы (ее движение будет описываться системой дифференциальных уравнений третьего порядка). Это рассмотрение выходит за пределы настоящей книги.
§ 6. Периодические движения
(4.1)
(= const) § 61
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
267
или после приведения к виду (4.1)
X-
которое, как известно, имеет периодическое решение
X
=Yl
у cos ((D0* + а),
Рис. 191.
где (D0 = и а — произвольная постоянная. Заметим, что для
этой системы первого порядка фазовой линией не может служить
отрезок прямой х:— A==Sxsg-J-A, где — заданная
амплитуда колебаний, так как задание х еще не определяет однозначно скорости системы X (каждому значению х на интервале — А x -f- А соответствуют два различных значения х). В качестве фазовой линии мы можем взять любую простую (без самопересечений) замкнутую кривую, например окружность (рис. 191). Каждому значению х соответствуют две точки окружности, что дает возможность установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек этой окружности и состояний гармонического осциллятора с заданной энергией. Например, мы можем считать, что на
верхней полуокружности X = -f- j/"^ h— и на нижней
/2~і Г~и ^xr
— I/ п--2 > тогДа задание точки окружности однозначно определяет x и x, т. е. однозначно определяет состояние системы.
Это положение является общим для динамических систем первого порядка: периодические движения возможны только в таких системах, фазовые линии которых имеют замкнутые участки (только такие фазовые линии допускают замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим движениям). Поэтому неоднозначность правой части уравнения (4.1) на некотором интервале изменения X является необходимым условием существования периодических решений этого уравнения.
Ниже мы рассмотрим два примера физических систем, которые при определенных упрощающих предположениях относительно их свойств приводят к динамическим системам первого порядка с двузначной правой частью уравнения (4.1). 268
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
1. Двухпозиционный регулятор температуры. Первым примером будет двухпозиционный (релейный) регулятор температуры, схема которого изображена на рис. 192. Для температуры печи 0 (мы будем считать ее одинаковой по всему объему печи и будем отсчитывать от температуры окружающей среды) имеем следующее уравнение теплового баланса:
C-=W — К®, (4.25)
где С—теплоемкость печи (мы будем считать ее не зависящей от температуры), W—мощность, подводимая к печи со стороны нагревателя, K^ — мощность теплоотдачи печи во внешнюю среду (приближенно можно считать, что мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур печи и внешней среды, т. е. что справедлив так называемый закон теплоотдачи Ньютона; коэффициент К называется коэффициентом теплоотдачи). Температура печи измеряется термопарой (или каким-либо другим измерителем температуры), которая через регулятор и исполнительный орган управляет мощностью, подводимой к печи.
