Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
263
того, в какую сторону был раскручен ротор. Для того чтобы избавиться от необходимости раскручивать ротор мотора, употребляют специальные приемы (добавочные обмотки, полюса и т. д.), нарушающие симметрию в картине вращения в обе стороны, вследствие чего появляется некоторый начальный вращающий момент и мотор сам трогается с места и, конечно, уже всегда в одну сторону.
Однако начальный вращающий момент с помощью нарушения симметрии нельзя сделать достаточно большим, и поэтому мотор все же плохо трогает с места. Этот недостаток мы и имели в виду выше — он очень сильно ограничивает область применения однофазных асинхронных моторов. ^ Тормозные
' полоаки
Огоаницигпельное кольцо
Рис. 187.
Рис. 188.
6. Фрикционный регулятор. Рассмотрим еще одну механическую систему, приводящую при определенных упрощающих предположениях к динамической системе первого порядка, — фрикционный регулятор, устройство которого схематически изображено на рис. 188. Такие фрикционные регуляторы применяются в ряде астрономических приборов, в телеграфных аппаратах, в патефонах и т. п. для стабилизации скорости вращения тех или иных осей. Их действие основано на том, что по мере увеличения скорости вращения оси регулятора шары регулятора расходятся и при некотором угле 9 = = O0 тормозные колодки начинают тереться об ограничительное кольцо, создавая тормозящий момент, который будет 1ем больше, чем больше скорость вращения (при росте возрастает сила нажима тормозных колодок на ограничительное кольцо). Этот тормозящий момент, резко возрастающий при увеличении скорости вращения, приводит систему в режим равномерного вращения, скорость которого оказывается сравнительно слабо зависящей от момента сил М, действующего на ось регулятора со стороны передающего механизма.
Считая все части регулятора идеально жесткими и предполагая, что во время процесса регулирования 8 = O0, мы получим 264
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ, IV
дииамическую модель с '/а степени свободы (ее движение будет описываться дифференциальным уравнением первого порядка).
Однако временно для получения выражения зависимости давления тормозных колодок на ограничительное кольцо мы не будем полагать, что 8 = 80, и будем рассматривать регулятор как систему с двумя степенями свободы (с обобщенными координатами ср и 8). Функция Лагранжа для такой системы запишется в виде
L=l/(»)«o» + ije»«-1/(8),
где /(8)—момент инерции регулятора относительно его оси, Je—-момент инерции шаров регулятора относительно точки О и V(8)—-потенциальная энергия регулятора. Будем пренебрегать всеми силами трения, кроме сил сухого трения тормозных колодок об ограничительное кольцо. Момент т. этих сил трения (относительно оси ре-,ев(ы)=— гулятора) мы будем считать пропорциональ-
N ным моменту N сил давления тормозных ко-
лодок на ограничительное кольцо (моменту относительно точки О), т. е. будем полагать, что
m = Nср (ш), где ср(ш) — функция, пропорциональная коэффициенту трения и поэтому определяе-~ ~ мая свойствами трущихся поверхностей тор-
ис" ' мозных колодок и ограничительного кольца
(вид этой функции изображен на рис. 189). Тогда мы получим уравнения движения регулятора в виде следующих уравнений Лагранжа II рода:
d IdL \ .. d ( dL\ dL
жЫ)=м~т' -ar(ir)—SF=-^v
или
/(8) id + Г (8) w8 = M — т, J^ — у /' (8) w2 -f V (8)= — N. (4.19)
Полагая в этих уравнениях 8 = 80, мы получим, во-первых, выражение для -момента сил давления тормозных колодок на ограничительное кольцо:
/V=l/'(8fl) ш*-V(S0)
или
Ar=A((Ua-U)J), (4.20)
I 2V (ft )
где а = у/г(80) и wjj = ¦ [t * —квадрат той скорости вращения
регулятора, при которой положение 8 = 80 было бы равновесным и без ограничительного кольца; мы получим, во-вторых, уравнение § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
265
движения динамической модели первого порядка:
Z(o0) w=M — аср(ш) (о)2 — ш2). (4.21)
Состояния равновесия (т. е. режимы равномерного вращения регулятора) о)=2, очевидно, определяются уравнением
аср (2) (22 — о)2) = М. (4.22)
Скорость равномерного вращения 2, конечно, зависит от момента М, приложенного к оси регулятора со стороны передаточного механизма (эта зависимость, обычно называемая статической характеристикой регулятора, дается в неявном виде уравнением (4.22)). Локально мы можем эту зависимость характеризовать величиной производной *)
dA =_I__(4 23)
dM 2aQf (Q) + e<p' (Q) (Q2 — '
Устойчивость режима равномерного вращения определяется уравнением первого приближения d (Дм) _
ПК)
dt
а {22ср (2) + ср' (Q) (22 — ш2)}
или
/ Cft Ї d _L
Дш
ZdQ
[dM
= 0.
d Q dM
(4.24)
>0,и
Очевидно, режим равномерного вращения устойчив, если dQ
неустойчив, если
Статическая характеристика регулятора 2 = 2(M) в зависимости от вида функции ср (ш) (от крутизны падающего участка характеристики
i?
I?
Рис. 190.
трения) и от величины параметра регулятора ш0 2) является или однозначной монотонной кривой (рис. 190, а), когда при каждом
