Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
A1 + Л.2 +...+ Л.„ = п. Разбиения наглядно изображаются схемами Юнга — упорядоченным расположением п клеток вида:
19 1.6. Инвариантные подгруппы. Гомоморфизмы групп
Подгруппа H' = gHg~l называется сопряженной с подгруппой Н. Если H' = H для всех ge G, подгруппа H называется инвариантной (нормальным делителем группы G). Простые группы не имеют нетривиальных (H ^ e,G) нормальных делителей. Полупростые группы не имеют абелевых нормальных делителей. Правые и левые смежные классы группы по инвариантной подгруппе совпадают: аН = На. Отсюда вытекает, что произведения элементов двух таких классов аН, ЪН (взятых в определенном порядке) все входят в один и тот же класс аЬН, что позволяет на множестве классов определить операцию группового умножения аНЬН = аЬН. В результате множество классов становится группой, G/H, называемой фактор-группой группы G по инвариантной подгруппе Н. Пример: подгруппа Сз в группе СзУ инвариантна, два смежных класса по этой подгруппе образуют фактор-группу второго порядка.
Две группы GhG* изоморфны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие g <-» g*, сохраняющее операцию умножения: (ab)* = a*b*. Изоморфное отображение группы на себя называется автоморфизмом; например, a* = gag~l (внутренний автоморфизм). Более общим является понятие гомоморфизма групп; группа G гомоморфна на группу G*, G —» G*, если между элементами этих групп можно установить соответствие g —» g* (однозначное в одном направлении), сохраняющее операцию умножения, (ab)* = a*b*. Элемент g* называют образом g, a g — прообразом g*. Нетрудно убедиться, что при гомоморфизме (и изоморфизме) единичный элемент отображается на единичный, а обратный элемент — на обратный к его образу, ах —» (а . Множество N a G прообразов единичного элемента е* группы G* называется ядром гомоморфизма G^G*. Основная теорема о гомоморфизме: ядро N гомоморфизма G —» G* является инвариантной подгруппой группы G, а фактор-группа G/N изоморфна G*. Для доказательства достаточно убедиться в том, что любой элемент смежного класса aN отображается на один и тот же элемент а *.
Пример гомоморфизма группы GL(n): A —» det А (отображение на мультипликативное множество всех чисел, отличных от нуля); ядро гомоморфизма — группа SL(n).
20 1.7. Прямое произведение групп Прямое произведение можно формально определить для любых двух (и более) групп GhG' как множество пар GxG' = {(g, g1)} со следующим законом группового умножения: (a.a^bfi') = (ab,a'br). Разбиение прямого произведения групп на классы сопряженных элементов предопределяется соответствующим разбиением перемножаемых групп: если {а} — класс группы G, {а'} — класс группы G', то множество пар {(a, Cir)] является классом GxG'. Множества пар {(g.e1)}, {(e,gr)} являются инвариантными подгруппами GxG', изоморфными, соответственно, G и G'. Любая пара элементов этих подгрупп коммутирует, а любой элемент всей группы однозначно представляется в виде произведения элементов подгрупп: (CitCir) = (а,ег)(е,аг) = (е,аг)(а,ег). Таким образом, всякая группа, содержащая две (и более) подгруппы с указанными свойствами, может рассматриваться как прямое произведение этих подгрупп. Например, Ce = С3ХС2, О3 = Оз+хСі.
1.8. Теорема Кэли
Структура группы определяется операцией умножения — правилом, сопоставляющим любой паре элементов (в том числе одинаковых) третий элемент группы. Для конечных групп структура наглядно представляется таблицей умножения ("доской Кэли"), в каждой клетке которой указан результат умножения элементов, стоящих в начале соответствующего ряда (левый множитель) и столбца. Таблица умножения группы СзУ:
E C3 C32 а(1) а(2) а(3)
C3 C3* E а(3) а(1) а(2)
C32 E C3 а(2) а(3) а(1)
а(1) а(2) а(3) E C3 C32
а(2) а(3) а(1) C32 E C3
а(3) а(1) а(2) C3 C32 E
Короче структура может быть задана системой образующих и определяющими соотношениями между ними. Любой элемент группы простого порядка обязательно имеет тот же порядок, т.е., такая группа может быть только циклической. Группа четвертого порядка помимо циклической может обладать структурой, в которой все неединичные элементы — второго порядка (четверная группа типа С2ХС2). Группы шестого порядка могут иметь две различные структуры: циклическую и структуру
21 группы C3v- Пять различных структур возможны для групп восьмого порядка (см. задачу 23).
Из таблицы умножения группы вытекает, что в результате умножения элементов группы, расположенных в определенном порядке [верхняя строчка таблицы — (ai,a2,...,an)], слева на какой либо элемент группы а получается строчка (аа\,аа2,...,аа„), в которой те же элементы расположены в другом порядке (переставлены). Таким образом, каждому элементу группы сопоставляется перестановка п предметов:
Г «1 а2 ¦¦¦ ап \
a —> ,
^aal аа2 ... аап,
причем нетрудно убедиться в том, что произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих перестановок. Сказанное формулируется как теорема Кэли'. всякая группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы п-й степени Pn. Эти подгруппы содержат только "правильные" перестановки, представляемые в виде произведения независимых циклов одинаковой длины.
