Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Оз. Так, группа «-го порядка Cn состоит из поворотов около некоторой оси на углы, кратные 2 те/и. В качестве объекта с такой симметрией можно представить себе коническую шестеренку с п наклонными зубцами. Группа симметрии правильной треугольной пирамиды, СзУ, содержит шесть элементов: единичный Е, поворот Сз на 120° (для определенности против часовой стрелки, считая ось направленной от основания к вершине пирамиды), поворот Сз2 на 240° (равносильный повороту на 120° по часовой стрелке), отражения ст(2), а(3) относительно плоскостей, проходящих через высоту и вершины 1,2,3 основания пирамиды (нумерация, для определенности, против часовой стрелки, см. рис.).
Подробное перечисление точечных групп приводится в конце раздела.
1.3. Порождающие множества элементов
Целые степени любого элемента группы определяются следующим образом: а" = аа...а (и раз), а~п = a~la~l ...a~l, а0 = е
Очевидно при этом, что а"ат = ап+т, и множество {а1} образует подгруппу, называемую циклической подгруппой, порожденной элементом а. Порядок циклической подгруппы называют также порядком элемента а — это наименьшая степень, при возведении в которую элемента а получается единица: а = е. Так, циклическая группа Cn образована элементом «-го порядка Cn.
В общем случае некоторое множество элементов группы {х\,х2,...,хг} называется порождающим множеством, или системой образующих группы, если произвольный элемент группы может быть представлен в виде произведения g = XiXj..., составленного из элементов этого множества и обратных к ним. Образующие элементы группы
17 связаны множеством соотношений вида XjXj... = XicXt.... Определяющими соотношениями группы называют минимальную совокупность таких соотношений, из которых все остальные можно получить в качестве следствия. В группе СзУ наименьшее порождающее множество состоит из двух элементов, например, С3;а<1>, связанных
определяющими соотношениями C33 = Е, сг(1)2 = Е, сг(1)С3 = С32сг(1).
1.4. Теорема Лагранжа
Пусть H подгруппа группы G , а — произвольный элемент группы. Множество аН = {ah; //є II) называется левым смежным классом группы G по подгруппе Н, образованным элементом а. Смежный класс содержит столько же элементов, что и подгруппа; если а ? Д то все элементы класса отличны от элементов подгруппы, тогда как hH = H для любого h 0II. Очевидно, в качестве "образующего" может выступать любой элемент класса, аН = ahH. Если в группе остался элемент Ъ, не содержащийся ни в Я, ни в аН, можно образовать класс ЬН, не имеющий общих элементов с H и аН и т.д. В результате группа представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:
G = H + аН + ЬН +...
Число слагаемых в этой "сумме" (г) называется индексом подгруппы H в группе G. Для конечной группы порядка п и подгруппы H порядка т мы получаем соотношение п=тг и теорему Лагранжа'. порядок подгруппы является делителем порядка группы.
В группе C3v подгруппа Сз обладает индексом 2, а три отражения составляют смежный класс по этой подгруппе.
1.5. Классы сопряженных элементов
Элементы группы а и Ъ называются сопряженными друг другу, если в группе найдется элемент g такой что a = gbg ]. Множество сопряженных друг другу элементов группы образует класс, и группа может быть представлена как объединение непересекающихся классов сопряженных элементов. Порядки сопряженных элементов совпадают, единичный элемент группы сам по себе образует класс, в абелевых группах любой элемент сам по себе образует класс сопряженных элементов.
Элементом, сопряженным к повороту в группе (или подгруппе) движений евклидова пространства, является поворот на такой же по величине угол около оси,
18 получаемой из исходной оси в результате преобразования, осуществляющего
сопряжение: gR(n,(p)g 1 = R(gn, ±ф) (см. рис.).
q^Ra
¦ /
/gn
Угол поворота в правой части равенства берется со ^ знаком -, если преобразование § меняет правый винт на левый. Аналогично, сопряженным к отражению в плоскости элементом является также отражение, трансляции сопряжена трансляция на такой же по величине вектор и т.д., т.е., сопряженные пространственные преобразования однотипны. Напротив, два однотипных преобразования сопряжены друг другу, если в группе имеется преобразование, переводящее соответствующие элементы симметрии (оси, плоскости) друг в друга. Так,
в группе C3v повороты Сз, Сз сопряжены, поскольку отражение (любое из трех) переводит ось вращения в себя, но меняет направление поворота. Три отражения сопряжены друг другу, так как их плоскости переводятся друг в друга поворотами (или отражениями в другой плоскости).
Сопряженным к перестановке элементом является перестановка с той же циклической структурой. В полной группе перестановок Pn для любых двух элементов с одинаковой циклической структурой найдется перестановка, сопрягающая их:
(a1a2...ai)(ai+1...a ,)... = g(b,b2..Jji){bi+v..bX..gg =
V0I- ai
bM... br.. ам... a
так что общее число классов сопряженных элементов определяется числом возможных циклических структур для перестановок данной степени. Циклическая структура (v) однозначно определяется указанием числа циклов всех возможных длин от 1 до п, (Ivl 2 v2...nvn), или разбиением (А,) числа п в упорядоченную сумму целых неотрицательных чисел: V1 +V2 + ... + vn =Xx, V2 + ... + vn =X2,..., vn =Xn, Xi>X2> ... > A715
