Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
11 Возможности применения теории групп сильно расширились в связи с тем, что состояния в квантовой механике, в отличие от классической, задаются векторами в абстрактном гильбертовом пространстве, а преобразования симметрии представляются унитарными (или антиунитарными) преобразованиями этого пространства. Было выявлено, что группа симметрии квантовомеханической системы и ее неприводимые представления могут быть использованы для классификации энергетического спектра и стационарных состояний системы, вычислений матричных элементов и расчетов по теории возмущений. Представление гамильтониана в виде суммы последовательно убывающих членов, учитывающих все более тонкие взаимодействия в системе, на языке теории групп означает постепенное понижение симметрии, переход от исходной группы высокой симметрии к ее подгруппам. При таком подходе оказывается возможным проследить за генеалогией уровней энергии системы и ее стационарных состояний, и он широко используется в теории атомных и ядерных спектров, спектров молекул и твердых тел. Без больших изменений его можно использовать для рассмотрения спектров других наблюдаемых величин. В теории спектров элементарных частиц решается скорее обратная задача: по имеющимся спектрам (или их кусочкам) угадать симметрию, объединяющую различные частицы. Потребности физики стимулировали развитие целого ряда крупных направлений математической теории групп, таких как канонические формы неприводимых представлений различных групп, теория коэффициентов Клебша-Гордона, унитарные представления некомпактных групп Ли, различные расширения групп Пуанкаре. Первые значительные результаты в этих направлениях были получены как раз физиками.
Как видно, для успешного применения идей симметрии помимо знакомства с общими понятиями теории групп и их представлений необходимо достаточно подробно знать часто встречающиеся в физике конкретные группы симметрии. В число последних входят группы, описывающие "геометрию" систем: группа вращений в трехмерном пространстве, лежащая в основе атомной спектроскопии, различные ее конечные подгруппы ("точечные группы симметрии"), описывающие внешнюю симметрию молекул и кристаллов, группа перестановок одинаковых частиц. Особое место в этом ряду занимает симметрия относительно обращения времени, привносящая в физику антиунитарные преобразования. Унитарные группы разных порядков используются в теории элементарных частиц и в теории атомных спектров (при рассмотрении термов выделенной конфигурации). Группа Лоренца определяет
12 структуру пространства-времени в специальной теории относительности; в общей теории относительности для описания полей тяготения используются и другие группы Ли.
Схема практического использования теории групп во многих задачах довольно проста: описание симметрии системы, составление приводимого представления на множестве состояний системы, рассматриваемых в данной задаче, разложение его на неприводимые составляющие с помощью операторов проектирования и, при необходимости, расчеты матричных элементов на полученных проектированием симметричных состояниях.
Указанная обширная программа "симметрийного" образования физиков в Казанском университете в настоящее время реализуется в несколько приемов. Это, во-первых, вводный курс "Теория симметрии" для студентов третьего курса, включающий основы теории групп и их представлений, знакомство с точечными группами симметрии и группой вращений. Студентам, специализирующимся по теоретической физике, читаются "Дополнительные главы математики", где эти же вопросы рассматриваются подробнее, решаются задачи и выполняются лабораторные задания. Наконец, будущим магистрам физического факультета читается курс "Дополнительных глав математики с физическими приложениями", в начале которого детально рассматриваются различные приложения точечных групп и группы вращений и, кроме того, излагается теория пространственных групп, групп Лоренца и Пуанкаре, унитарных симметрий.
Настоящее пособие представляет собой краткое содержание лекций по указанным разделам теории групп. Более подробно изложены расчеты компонент тензоров, инвариантных относительно некоторых групп, расчеты нормальных координат и молекулярных орбиталей симметричных молекул. Эти параграфы можно рассматривать как образцы выполнения аналогичных лабораторных заданий. Справочные сведения, приведенные в приложениях, также призваны способствовать выполнению лабораторных заданий. По каждому разделу курса приведены задачи, которые либо дополняют и иллюстрируют теоретическую часть, либо помогают овладеть стандартными приемами, встречающимися в приложениях. Расширенное содержание книги является программой курса.
В пособие включен также ряд дополнительных сведений, сравнительно редко встречающихся в учебниках по теории групп для физиков. Нам представляется
13 целесообразным хотя бы кратко познакомить студентов с некоторыми выдающимися результатами абстрактной математической теории групп - классификацией конечных групп, алгебр Ли, изоморфизмом алгебр Ли и матричных алгебр. Эти вопросы лишь частично излагаются на лекциях и рассчитаны, скорее, на пробуждение интереса к чтению дополнительной литературы. Несколько подробнее рассматриваются групповая алгебра и коммутаторные алгебры представлений. Эти понятия придают внутреннее единство всей теории представлений и ее приложениям. Гамильтониан квантовомеханической системы является элементом коммутаторной алгебры представления соответствующей группы симметрии, и вид матрицы его в подходящей системе координат определяется леммой Шура. На указанных понятиях основан и фундаментальный вывод Шура о связи полной линейной группы и группы перестановок.
