Разномодульная теория упругости - Амбарцумян С.А.
Скачать (прямая ссылка):
Di (4-6>
о о
которая совпадает с формулой (4.5). Эта аналогия полезна для инженера,
который хорошо знаком с теорией индуктивного сопротивления.
Распределение скоростей возмущения и распределение проносимого
горизонтального количества движения, вызываемого тонким телом в
сверхзвуковом потоке, показано на фиг. 4. Отметим, что в этом случае
возмущения, создаваемые телом, распространяются внутри конуса Маха,
выходящего из заднего конца тела.
Напомним, что в плоском случае эти возмущения ограничены двумя полосами.
Крыло произвольной фор* мы в плане с тонким симметричным сечением. Для
этой задачи теория может быть построена при помощи метода источников и
стоков, непрерывно распределенных по средней плоскости крыла. Найдено,
что в этом случае поверхностная плотность распределения источников
пропорциональна углу наклона поверхности крыла, измеренному в
вертикальной плоскости, совпадающей с направлением полета. Распреде-ние
давления по крылу и пол-
2 Т. Карман
Фиг. 4. Тело вращения в сверхзвуковом потоке: (а) скорости на контрольной
поверхности; (Ь) горизонтальная составляющая количества движения на
контрольной поверхности; (с) распределение давления на контрольной
поверхности
18
СВЕРХЗВУКОВАЯ АЭРОДИНАМИКА
ную величину волнового сопротивления можно вычислить суммированием
действий всех этих источников.
Р. Т. Джонс нашел удобные методы для выполнения этих суммирований, в
частности, для стреловидных и конических крыльев; для этой цели он
применил соответственным образом выбранные косоугольные координаты.
Другой многообещающий метод основан на применении интеграла Фурье. При
этом крайне полезным оказывается способ, который может быть назван
"акустической аналогией". Выше было указано, что математическая задача
определения течения, возникающего при сверхзвуковом движении тонкого или
плоского тела, в случае линеаризации совпадает с задачей о цилиндрических
акустических волнах.
Действительно, если рассматривать длину
как координату времени, то исследование трехмерного потока, создаваемого
тонким крылом, которое изображено на фиг. 5, может быть приведено к
рассмотрению во времени двумерного потока в плоскости уг, создаваемого
соответствующим образом подобранными акустическими осцилляторами,
расположенными вдоль линии АВ, представляющей собой проекцию плана крыла
на плоскость уг. Влияние произвольного сечения в этом случае моделируется
импульсом, получаемым воздухом от осциллятора; закон изменения
интенсивности импульсов во времени определяется формой сечения. Например,
в случае цилиндрического крыла, расположенного перпендикулярно потоку,
все осцилляторы должны одновременно производить одинако-
Фиг. 5. Акустическая аналогия; схематическое представление плоского тела
с симметричными сечениями
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
19
вые импульсы, тогда как при скольжении этого же крыла их действие должно
сопровождаться сдвигом фаз.
Однако известно, что импульс может быть заменен бесконечным числом
элементарных гармонических колебаний. Это приводит в линейной
сверхзвуковой теории крыла к применению интеграла Фурье и к следующим
основным результатам.
1. "Акустический импульс", т. е. вертикальная скорость, создаваемая
осциллятором в плоскости уг в момент времени t, пропорционален
вертикальной скорости в трехмерном потоке, создаваемой присутствием
сечения и, следовательно, с принятой степенью точности пропорциональна
наклону поверхности сечения при соответствующем значении х. Таким
образом, прежде всего нужно представить распределение угла наклона о
вдоль произвольного сечения интегралом Фурье. Это представление для 8
имеет вид
во
8=а^ f/1(v)sinv^-|-/2(v)cosv^] d (4.7)
о
В этом уравнении а есть соответственным образом выбранный параметр длины,
например, полухорда основного сечения. Параметр v, представляющий собой
переменную интегрирования, обратно пропорционален длине волны в
трехразмерном потоке и пропорционален частоте осцилляторов в
рассматриваемой акустической аналогии.
Функции U (v) и /2 (v) представляют амплитуды при синусе и косинусе в
интеграле Фурье. За исключением бесконечного крыла постоянного сечения,
нормального к потоку, функции /1 и /г являются также функциями координаты
у, отсчитываемой вдоль размаха; вне размаха /i = 0 и /г = 0.
2. Волновое сопротивление крыла моделируется в акустической аналогии
энергией, уходящей в бесконечность, за полный период колебания.
Следовательно, нужно рассматривать бесконечное число осцилляторов,
распределенных вдоль размаха, или,
20
СВЕРХЗВУКОВАЯ АЭРОДИНАМИКА
более точно, вибрирующий отрезок в плоскости уг, и вычислять
взаимодействие осцилляторов, или элементов этого отрезка.
Рассмотрим два сечения крыла S u S* (фиг. 5) на расстоянии | у - у* |
одно от другого вдоль размаха и заменим эти сечения осцилляторами.
Амплитуды при синусах и косинусах как функции частоты соответственно
будут /,(v), /2(v) И //(v), /2*(v). Тогда можно
w
t
Со
ъ.
as
о.г
ач
