Разномодульная теория упругости - Амбарцумян С.А.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в
рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были
отброшены в дифференциальных уравнениях.
Плоское течение. Этот случай соответствует крылу бесконечного размаха.
Будем предполагать профиль крыла симметричным, - крыло, создающее
подъемную силу, рассмотрено в дальнейшем.
В этом случае линейная теория приводит к простому результату.
Сверхзвуковой поток со скоростью И произ-
14
СВЕРХЗВУКОВАЯ АЭРОДИНАМИКА
водит на каждый элемент поверхности крыла давление, равное
26 рЕ2
VWZ.1 2
где [у - плотность воздуха, 8 - местный угол атаки и Af- число Маха
потока (т. е. полета).
Замечательная простота этого результата вытекает из того обстоятельства,
что давление, действующее на элемент поверхности, не зависит от формы
остальной части профиля, а зависит только от наклона самого элемента.
Известно, что в случае дозвукового движения имеется взаимодействие между
всеми элементами поверхности.
В соответствии с этим простым результатом сопротивление единицы длины
профиля в направлении размаха может быть выражено в виде
Со ?2~ с
т. е. произведения давления '/г Р И2 хорды с и коэффициента сопротивления
Со= 4Ь2/ум^-1, где Г2 - квадрат среднего угла наклона элементов
поверхности сечения
Для ромбообразного сечения <Г2 равно квадрату отношения t/c толщины к
длине хорды. Так, например, для профиля этой формы с величиной отношения
tic, равной 6%, и при числе МахаM=NH коэффициент волнового сопротивления
равен 0,0144, т. е. почти вдвое больше коэффициента профильного
сопротивления хорошего дозвукового профиля при малых числах Маха.
В случае плоского потока изменение давления ограничено двумя полосами,
углы наклона которых к направлению потока равны углу Маха. В
рассматриваемом приближении сжатие и расширение распространяются с
неизменной интенсивностью вдоль линий Маха. Как было указано выше,
изменение количества движения также ограничено этими полосами (фиг. 2с).
Предыдущий результат, относящийся к сопротивлению, легко может быть
подтвержден вычислением реакции воздуха, проходящего сквозь боковые
поверхности.
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
15
Тело вращения. Один нз наиболее известных способов построения потока
несжимаемой жидкости вокруг тела вращения заключается в применении метода
источников и стоков. Этот метод может быть использован в приближенной
теории потока сжимаемой жидкости как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом
случаях.
Формула для потенциала скоростей потока, создаваемого в несжимаемой
жидкости источником, расположенным на оси х в точке х = S, имеет вид
<P = ?-^=L= (4.1)
т V(x -5)2+гг
Здесь х и г - цилиндрические координаты, Q - интенсивность источника,
равная объему жидкости, выте-
М=0 0,707 M-t.m
Фиг. 3. Линии того источника в сжимаемой жидкости.
кающей из источника в единицу времени. Эта формула может быть
представлена в более общем виде
________А________
^ = T/'te - 5)3 - (Д?2 _ 1)Г2 (4-2)
Функция <р, определяемая этой формулой, есть решение линеаризированного
уравнения течения для произвольного числа Маха потока. Фиг. 3 изображает
схематически источник, определяемый формулой (4.2) для трех случаев: М -
О, М>1 и Л4<1.
В соответствии с правилами запрещенных сигналов и зон действия и молчания
в сверхзвуковом случае поток заключен внутри конуса Маха. Действительно,
уравнение (4.2) дает вещественные значения для <?
16
СВЕРХЗВУКОВАЯ АЭРОДИНАМИКА
только внутри конуса Маха. Скорость потока вдоль поверхности конуса равна
бесконечности. По этой причине в сверхзвуковой теории не рассматриваются
точечные источники и стоки, а применяются источники с интенсивностью,
непрерывно распределенной вдоль линии. Таким образом, применение линейной
теории ограничено телами с заостренными головной и хвостовой частями.
Кроме того, если используются упрощенные граничные условия, то острые
углы в меридианном сечении должны быть исключены.
При упрощенных граничных условиях линейная теория приводит к следующим
результатам.
1. Интенсивность распределения источников вдоль оси тела определяется как
объем жидкости, вытекающей из точки I в единицу времени на единицу длины,
и дается формулой
№=иш <4-3>
где U - скорость невозмущеиного потока, 5 - площадь поперечного сечения
тела.
2. Потенциал распределения источников, представляющих тело, имеет вид
т di
2* Д(х-?)"-(ЛГ;*-1)г2 v ' '
о
Здесь х и ? - координаты вдоль оси, а I - длина тела.
3. Волновое сопротивление тела дается формулой
I I
Dw = -?$ \f'(x)f'($)\og\x-%\dxd' (4.5)
о о
где р - плотность воздуха в невозмущенном потоке и обозначено /' (х) = df
/ dx.
Следует отметить замечательную аналогию между волновым сопротивлением
тонкого тела вращения и индуктивным сопротивлением несущей линии. В самом
деле, если функция f(x) представляет распределение циркуляции несущей
линии по ее длине, то индуктивное
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
17
сопротивление определяется известной формулой
I I
