Теплофизические свойства двуокиси углерода - Алтунин В.В.
Скачать (прямая ссылка):
19
+ («в + ± + -Ь) Р2 + (л, + Р3 + («а + ^) Р4 + Р5 +
+ [(? + + ^)+ + ?Г + ^) ехР (~п^\ ™
Уравнение Стробриджа также включает слагаемое уо>2Х Хехр(—уо?)> но содержит (в различных модификациях) от 15 до 20 констант, что позволяет описать более широкую, по сравнению с уравнением Бенедикта — Вэбба— Рубина, область состояний. Поэтому уравнение Стробриджа получило сравнительно широкое распространение*, причем в ряде работ показатель экспоненты у разыскивается одновременно с остальными константами, т. е. задача поиска коэффициентов уравнения решается в нелинейном варианте [1.76].
В практике отечественных исследований наибольшее распространение получили полиномиальные уравнения, а именно: вириальное разложение фактора сжимаемости г по степеням д/х и уравнение состояния в элементарных функциях (см. разд. 6.1).
Установлено, что для описания интервала приведенных плотностей со=0—2 (3) степень г ограниченного ряда по степеням плотности
порядка 6—8. Ряды (1.10)** часто называют вириальными, однако в действительности числовые значения В* зависят не только от температуры, но и от процедуры их получения из экспериментальных данных. Лишь при определенных условиях два-три первых коэффициента В; могут быть отождествлены с теоретическими вириальными коэффициентами В{(Т), а остальные представляют собой температурные функции, которые удобно аппроксимировать эмпирическими полиномами вида
5(л = 2^- (1Л1)
/=0
* В 1963—1966 гг. в Криогенной лаборатории НБС США машинным способом построены уравнения этого типа для Аг, Ые, СО, Ог. В [1.65] составлены уравнения для Аг, N2, СОг, Ог, СН4.
** Заметим, что успешное использование рядов типа (1.10) объясняется тем, что в однофазной области изотермы реальных газов являются непрерывными функциями @, а согласно известной теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на интервале, допускает в этом интервале равномерное приближение рядами.
20
•70гда уравнение (1.10) приводится к виду
г В, 1
*=1+-2Е ьиЬ- (1Л2)
/=1 /=о
Уравнение (1.12) кажется не очень удобным, так как для вычисления значений Q(pi Т) необходимо применять итерационные методы нахождения корней алгебраических уравнений [1.39]. Поэтому иногда в качестве независимых .переменных используют не д и Г, а р и Т. В этом случае уравнение состояния может быть формально записано в виде ряда по степеням р:
г=1 + ±А1(Т)р\ (1.13)
где
лил-2-т-
/-0
Очевидно, что при выполнении расчетов вручную предпочтительнее иметь уравнение типа (1.13). При выполнении же расчетов на ЭЦВМ уравнения (1.12) и (1.13) в смысле трудоемкости вычислений являются по существу эквивалентными.
К настоящему времени разработаны стандартные программы нахождения корней функциональных уравнений для различных типов ЭЦВМ, требующие обычно небольших затрат машинного времени. Например, для простейшего итерационного метода — метода половинного деления, количество необходимых итераций
м>ы(^=±у\ё 2,
где (а, Ь)—отрезок, внутри которого заключен корень; г — требуемая точность определения корня. Обычно (а — 6)«1. Тогда при е=10~5— 10~6 получим N=15— 18. При использовании метода Ньютона количество итераций резко уменьшается. Но затраты машинного времени в обоих случаях отличаются незначительно.
Однако с точки зрения эффективности аппроксимации Уравнения (1.12) и (1.13) равноценны лишь в ограниченной области состояний. В более общем случае при одинаковом качестве аппроксимации ряд по р будет существенно короче, чем ряд по ру т. е. г<Ся. Аналитическая связь между коэффициентами Л* и В{ обсуждалась в ряде работ [1.9, 6.130 и др.]. В [1.9] получено следующее рекуррентное соотношение:
в,- 2 МОТУ
у 0 <*</—! ак\
(1.14)
21
Помещенные ниже формулы для вычисления А{ при 1 = = 1, 2, 3, ..., 7, получены на основании соотношения (1.1.4):
Аг=(ЯТ)-ЧВ2-(#Т) ЛА]; А3 = (ЯТ)-*[ва-^ /(/?Г)М/Вз_/];
Л8 = (ЯП г _
-3(ЯГ)М,я/|;
^4-2 ПЯТУА^-,-(/?Г)М,В1»1;
/-1
в5 - 2 / ^5-/- 2 ЛАА, -
Л, = (ЯГ)-« + 2ВА)-Л7-(^Г)-7
(ЯГ)» А3 (Вг + 6В1В8)-6(ЯГ)* АЛВ^: ' б
Б7 - ^ (ЯГ У АУВ7Ч - 2 (ЯГ )М, X (+ + В2В3) - 3 (ЯГ)3 Л3(?22 + -4 (ЯГ)М4 X
X (Вх'-ЗВ^,) - 10(ЯГ)М5В1!
При трансформации рядов (1.12) и (1.13) степень полинома обычно не изменяют, т. е. удерживают столько же коэффициентов Л г, сколько было В*. При таком переходе исходный и трансформированный ряды не могут считаться эквивалентными. Из соотношения (1.14) следует, что корректная трансформация рядов (1.12) и (1.13) возможна только при условии я» г, т. е. исходный ряд будет содержать существенно меньше членов по сравнению с трансформированным рядом. Если это требование не выполняется, то область применимости уравнения (1.13) заметно сужается по сравнению с исходным уравнением (1.12).
Обзор опубликованных работ показывает, что для приближения функций от двух переменных на множестве эксперимен-
22
тальйых точек обычно используют метод наименьших квадратов с неортогональными одночленами вида хтуп в качестве базиса разложения. Поэтому отработка машинных методик построения уравнения состояния сжатых веществ была начата л именно с этого варианта метода наименьших квадратов.
