Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
(IS)
О.в)
IP. (0 = ™? (О,
(U)
где черта означает усреднение по быстрым колебаниям с частотен 2ю0
16
Глава I
Скорость излучения энергии диполем через сферу с центром на диполе хорошо известна из классической электродинамики (12]. разд 2 2 3)
\ S(Z) глйА=^-ЩГ) (1.8)
С учетом (I 7) ее можно записать как
Другими словами она пропорциональна энергии самого диполя Таким образом уравнение (I 6) выражающее закон сохранения энергии, эквивалентно простому уравнению для энергии диполя
Ясно, что в пределах применимости указанных приближений колебания затуяают экспоненциально,
Wa(t)^We{0)e-*K; (I 10)
причем относительная скорость затухания энергии равна
Если диполь осциллирует с оптической частотой, то естественное время жизни то, предсказанное таким путем будет порядка 0,1 мкс Следовательно, для оптнческнч частот неравенство 1/То <?i Ь>а выпотняетсп и исходное предпоТОЖЄННЄ о том, что осциллятор относительно медленно теряет свою энергию, обосновано
Это медленное затухание а\штитудьі и энергии изтучакшего диполя, обусловленное реакцией излучения, удобно ввести непосредственно в уравнение движения диполя При этом уравнение (14) для лоренцевых вынужденных колебаний примет вид
где E должно теперь рассматриваться как поле всех других зарядов и токов, действующее на диполь а Легко проверить что при E = 0 из у равнения (Ml) действительно вытекает затухание амппнтуды диполя со скоростью 1/то и ею энергии со скоростью 2/то
Классическая теория резонансной оптики
17
§ 3. классическая проблема раби
Одним из самых простых и в то ж<> время весьма важным является случаи, когда внешнее поле колеблется с частотой ы близкой к собственной частоте ыа одного из диполей Именно такая бтизость возб\ждающей и собственной частот приводит к резонансным явленням Мы несколько видоизменим обычный подход к решению этой известной проблемы рассматривая ква знрезонансные эффекты, т е эффекты, возникающие в непосредственной близости к резонансу
Запишем приложенное поле в виде
где —постоянная амплитуда а сокращение «к с » обозначает, как обычно, выражение комплексно сопряженное предшествующему Представим далее X0 в внте суммы двух слагаемых одно из которых приблизительно снифазно с полем E а другое сдвинуто по фазе относительно E приблизительно на 9Cf (т е яв ляется «квадратурным»)
Здесь величину Xc можно рассматривать как постояпную ампли туду колебании вблизи какого то момента времени Величины иа п Va вообще говоря, не постоянны так как собственная ча стота «U0 для ха отлична от частоты поля ы Однако иа и va будут измениться во времени очень медленно, если разность и — <Уа мала Фактически предполагается справедливость нера венств
1«с|<ы|(,0|, IUaKu3IH0I1Iu11K[UIf11Ur0KCu2Iu0I, (I U)
которые гарантируют, что ы0 и va являются огибающими (относительными амплитудами), медленно меняющимися по сравнению С COS V>l Il Sin Oil
Эти предположения позволяют представить уравнение два жепия диполи {I II) как пару уравнений для иа и va
E = ff Ie'"' -f к. с ],
(1 J2)
ха = хи [иа cos tat — сй stn <at\
(І.ІЗ)
Bn=5 ——и2)f. — —--—а ,
а 2ш \ » ) и T0 иго a*
V = J-(o? —(C^)B----— «? +
H
(1.15)
(I 16)
Поскольку Wo a; ш. можно положить здесь to2—иаяв2ы(| п для удобства обозначить разность частот через Un
A0 = ID0 — СО,
(I 17)
Глапа I
Ввиду относительно малой скорости радиационного затухания (т е ввиду штй S> I) последним слагаемым в каждом из урав нений (I 15) (I 16) можно пренебречь
В реальных физических ситуациях радиационное затухание — обычно не единственный фактор, приводящий к затуханию амплитуды диполя Вследствие множества случайных некогерентных взаимодействий (столкновения и т п), которые не были Включены в исходный гамильтониан эффективное «время жизни» осциллятора обычно короче его чисто радиационного времени жизни Td Заменим поэтому хо на T величина T зависит от конкретных условий причем подразумевается, чтр полная скорость затухания 1/7" должна быть больше пли по крайней мере равна Чисто радиационной скорости 1/то- При этих предположениях уравнения для синфазной и квадратурной амплитуд принимают С( оіветствснію вид
и = — До — у-, (1.18а)
і> = Аи — -у — к&. (I 186)
где
У = -^ (1.1?
Мы опустили индекс а. поскольк\ Д в равной мере характеризует атомы с различными ретонанснычн частотами
Уравнения (I 18а) и (I 186) имеют простое решение "С". д) = К cos Д/ — o0 sm M] е-"7 +
+ хй" J (Wem Д(I —С)е-«-'>1Г, (1.20а) и
v[t; A) = [u0SInЫ -f o0cosЫ]е-*'т —
— у.Ш J dt' cos Д (/ — t')e-«-'>г, (I -206)
где W0=H(O Д) и Ic = і' (О, Д) — начальные значения огибаю щнх и и V С течением времени все начальные осцнчДяция за тухают н при /Э>7" из решения (I 20а), (1 206) получается известный результат
*-<'> = ^ЧетПА7 + К 0 "2"
Следовательно, под действием внешнего поля диполь осциллирует с частотой почя, но не точно в фазе с полем
Уравнения (1 18а) и (I 186) являются классическими ана логами нелинейных квантовых уравнений для осцилляции атом-
Классическая теория резонансной оптики
19
ного диполя, которые будут важны в последующих главах В дальнейшем мы именуем решение (I 20а) (1206) классическим решением Раби поскольку решение квантовой задачи для рассмотренного здесь случая ё = consl принадлежит Рабп [3] и получено в его ранних исследованиях ло магнитному резонансу (см гл 3) ')
