Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
д А д 1 U
й dt " dz V~ dz
96
Ґлава 4
Есш обозначить точкой дифференцирование но ? то систему уравнения Максвелла можно будет представить в виде
{K' — к2) Ш(i, z) =* + 2ka8JVd $ "0. A A') g(A')rfA\ (4.30а)
2 (A-A)^(J1 2) =* - 2л/г2ЛМ J t>(', 2 A')g(A')rf\' (4306)
Решение уравнений (4 30) совместно с атомными уравнениями (4 9) без потерь можно получить различными способами
фиг АЛ. Аномальное поведение площади импутьса. предсказываемое теоре» мой площалск m
Обычно нспольз\ется предположение о факторизации (4 15). Мы будем следовать здесь работе Матулнка и Эберлн [4]
Соотношение (4 7) выражающее закон сохранения энергии и вытекающее нз (4 46) для стационарных импульсов приобретает особенно простои вид. поскоіьку как левая, так н правая стороны уравнения (4 46) становятся здесь полными производными но ? что позволяет сразу же провести интегрирование. Используя факторизацию (4 15) '). а также вводя обозначение
») из условия факгориэашш (4 is), записанного применительно к вела-чвне с сразу же вытекает аналогичная факторизация и доя зависящих от поля слагаемых величии и н W —Прнч ред
Распространение импульса
97
получаем следующее соотношение между1 атомной инверсией Д) 11 потоком энергии поля Й'2(?).
ш (?, A) = W0 (A) + '/^ (А) И* (Q1 (4.32)
где К'о(А)—значение инверсии в отсутствие поля Нетрудно также получить другой интеграл уравнений Максвелла и оптических уравнений Блоча Исключая г(?. Д.) из (4 9а) и (4 9в). а также используя (4 32), находим
UiL * ц, (Д) + ? »ief (Д) * (O (4.33)
Это соотношение между S и синфазной амплитудой диполя весьма похоже на классическое соотношение (I 20а)
Решения (4 32) и (4 33) становятся точными лишь в пределе "Л ->оо и 7".->со. При конечных Ti п Ts Они дают ошибки порядка 1/T1 и //П, где (— время интегрирования Во всех сту-чаях, представляющих Интерес, время интегрирования t ограничено продолжительностью возбуждения, т е длительностью импульса т Поэтому излагаемые результаты относятся к доста точно коротким импульсам для которых т/7", I ит/Tj I
Следующий шаг состоит в получении уравнения для самок огибающей поля Дифференцируя (4 306) но ?. выражая затем V как &u-\-yMw из второго уравнения Блоха и используя уоо-вия сохранения (4 32) и (4 33) можно выразить и и w через S Результирующее уравнение имеет простой первый интеграл, который можно найти следующим образов Ec ш предположить, что атомы находятся первоначально в основных состояниях, то при ? = — со будет u = v = 0 и С1 — — J JJa г.ее для любого реального импульса # (—oo) = 0n#(—ос) — О Используя эти начальные условия, получаем простейшую форму уравнения для огибающей
&*={%У%ЧМ2-8*), (4.34)
где
Хотя уравнение (4 34) можно проинтегрировать, целесообразно прибегнуть к графической иллюстрации, из которой станут ясны многие закономерности решения В частности, выявляется физический смысл ПОСТОЯННОЙ AJ.
Hb фиг 4 6 показана зависимость Й"2 от Й°2 Физически допустимые значения чежат между О и Мя, поскольку величина Должна быть положительной Следовательно, M — максима тьное значение S Далее, ясно что д-ля очень слабых полей № ^M) из уравнения (4 34) вытекает экспоненциальный рост
98
Глала 4
S со споростью кЛ«/2 Это значит, что величина ЛІ определяет не только максимальную конечную интенсивность импульса, но н скорость приближения к ней. Мы увидим, что эта двойственная роДь ЛІ эквивалентна ограничению на площадь импульса Ско рость роста огибающей поля для слабых нолей обозначают обычно через 1/т Поэтому AJ2 — 4/хЕтй, в результате иснольлуч
Фиг 4.6. Графическая иллюстрация на фазовой плоскости. _ ____
к уравнению (4.34). которое описывает вгибающую стапнондрігого импульга.
Одни и ют м« пярвнетр M определяет как макішіальїіас значение сгибающей так и скорость роста iit я слвЄьііі полях ч*м фиксируется п площадь ннпудыя Yrnooatl козффи UiietiT пунктнрноП примой рлэен (iM/2>< Hl
определение (4.35) и условие F(O)= 1. находим отдельно F(A) и и*
и
^=J4V. (437)
Наконец, из этих параметрических расчетов либо прямым интегрированием уравнения (4 34) можно получить в явном Виде решение для огибающей функции
# U) ^~ sech "Т (438)
Легко показать, что площадь огибающей (4 3B) есть 2л при любых киг Как уже указывалось, это следствие того факта, что и максимальная амплитуда 2/хт, н скорость роста в слабых поляк 1/т содержат і одинаковым образом.
Распространение импульса
99
Решен те (436) лля огибающей совпадает с полученным ра нее [см (4 19)], правда, в роли переменной выступает теперь ^ = t — zjV Нанденное выражение для F(A) также совпадает г полученным ранее Нетрудно проверить, что и для и, v. w получаются выражения, совпадающие с (4 21) Следовательно, решение временных уравнений Блоха, полученное в § 3 данной главы согласуется с найденным здесь решением взаимосвязан иых уравнений Максвелла и Блоха содержащих пространствен пую и временною зависимости, при условии, что импульс и связанное с ним взаимодействие распространяются с постоянной скоростью V) Проанализируем детально выражение для скорости секансондачьного 2л импульса (438) Из соотношения (437) и определения (431) получаем
