Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
(4 2Ia) (4.216)
= -1 + Т+Т^Г scch" V 21 в>
Легко проверить что из (4 21) прямо вытекает закон сохранении вероятности hs -f- i'! -|- а'2 — I Таким образом решение для взаимосвязанных переменных Блоха и v и к' определяется относительно просто Траектория вектора Блоха на единичной сфере которая соответствует этом^ решению показана на фиг 4 I Разные кривые изображают векторы отвечающие различным расстройкам Л Только при точном резонансе (\ = 0) проекции векторов на ось и обращаются в ну ль в соответствии с тем что здеи- диполь колеблется точно в квадратуре с элек-три гескнм полем
Однако значимость решения (4 19) для огибающей электрн ческого поля этим не исчерпывается Очень важно что без пс пользования в какой бы то ни было форме уравнений Максвелла найдепа временная зависимость амплитуды электрического поля. Это свидетельствует о том. что нелинейности в уравнениях квантового диполя имеют определяющее значение для резонансных оптических явлений
Возникает вопрос каково соотношение между уравнениями Максвелла и единственным в своем роде решеиием (4 19) атом-
во
Глава 4
пых уравнений для одиночного импульса? Чтобы ответить на этот вопрос, можно было бы просто подставить (4 19) и (4 21) в уравнение Максвелла Однако более плодотворный н глубокий подход состоит в том, чтобы решать % равнения Максвелла независимо и выяснить, какие вообще формы импульсов возможны
Фиг 41 Траектории вектора Блоха на единичной сфере, соответствующие решениям уравнений Блоха, которые задаются формулами (121) J2J
Различные тригкю)*!! отвечают лекторам Блока с раыютыми расстройками і камин Мочевин Vi В маидон случае движение вскто|>а Блоха определяете* гя-нмпульегш.
Такой подход непосредственно приводит к квантовомеханической «теореме площадей» Мак-Колла —Хана [2]
S 4. «ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ» МАК-КОЛЛА — ХАНА
В § 6 гл I было введено и использовано понятие «площади» огибающей электрического поля, в частности, для того чтобы заново вывести закон Бера для поглощения электрического поля в диэлектрике Более того, подход, связанный с введением «площади», оказался удобнее при переходе от стационарного случая I. импульсу произвольной формы В рамках этого подхода было показано, что экспоненциальный закон ослабления остается
Распространение импульса
91
справедливым даже тогда, когда время затухания отдельного диполя велико по сравнению со временем наблюдения (этот случаи мы называли «современным»), но это ослабление возникает благодаря затуханию поляризации вследствие эффекта неоднородной дефазировки. а не вследствие затухания колебании отдельных диполей
Мы используем в дан- *'*г) ром параграфе эти на возящие классические представления и получим квантовомеханиче-скую «теорему площадей» которая как в качественном, так и в колнче ственном отношении от лпчается от классической теоремы Изучаемая ситуация в идейном плане аналогична «современ ному» случаю в гл 1 Чтобы подчеркнуть это, фнг_ I 2 (см фиг 4 2)
Фиг 4 Z- Амплитуда ч.іектрнческого і при данном г как функция времени
Момент ' обоэначяет конем импульса, при I >/в
мы воспроизводим здесь еще раз Вводя площадь огибающей согласно (I 38)
(4.22)
проинтегрируем квадратурное уравнение Максвелла (4 46) по времени от t = — оо до некоторого момента Ї после прохождения импульса через точку наблюдения г Кваитовомеханический результат, аналогичный классическому выражению (139), таков.
дА{ї г) _ nJTTivr
fcMdAg(A) \ v(t, г. д)<Й.
Временной интеграл и интеграл по расстройке вычисляются точно так же как в классическом случае. Несмотря на то что в квантовом уравнении для С появляется w, мы получаем ре-зу чьтат
-?- = k'ngiO)v(tD, г, 0), (4.23)
который соответствует классическим соотношениям (І 48) и (149) Он получается, если импульс существенно короче Ts. Для перехода к точному классическому результату достаточно
92
Глава 4
выполнить замену ка-* е21ты, справедливую в классической области
Однако теперь в наше рассмотрение вовлекаются квантовые нелинейности В отличие от классической ситуации абсорбционная часть амплитуды резонансного диполя оказывается нелинейной функцией O и. следовательно площади
V ис, г, 0) = - sin A U0, 2). (4.24)
Поско ilkv #(/,2)=0 для всех /Г>/0, то A[Iz) точно совпадает с А (/0, г) «Теорема площадей», впервые полученная в 1967 г Мак Коллом и Ханом [2], вытекает сразу же из (4.23) и (4 24)
А (/. z) ^ - 1 a sin А (/, г) (4.25)
Выражение для коэффициента поглощения а приобретает вид
если мы вспомним что d = 1Ut)-K, н пренебрежем небольшим различием между К и k Следует отметить, что в литературе по оптическому резонансу нет общепринятого выражения для а. Это обусловлено различием в определении дипольного момента u К этому вопросу мы вернемся в § 7
Часто et называют обратной длиной поглощения Бера, она — квантовый аналог обратной длины поглощения а« из гл [Действительно, если использовать в (4.26) тождество Id-1Ih = v.d и затем совершить «классический» переход ка-*- еа/г>на то выражение для а совпадет с таковым для сск [см выражение (I 35в)]. Этого и следовало ожидать
