Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
d+_ = --Jeaa<x-(y), (2.II)
где X и у — единичные векторы ортогональные выдетеннон оси квантования атома z и друг другу Каждая из волновых функций VkIi(O " Чгіро(г) определена, как известно с точностью до произвольной постоя и но и фазы, поэтому и матричный элемент имеет такую же неопределенность В общем случае днпольные матричные элементы являются комплексными векторами
d+-=d. + id,. d_+=dr- tu,, (2.12)
где d. и d, — вещественные векторы свои в каждом конкретном случае. Для приведенного выше примера
H
Эрмитов оператор d можно всегда представить как недиагональ ную матрицу в двумерном пространстве, обладающую матричными элементами (2 12)
_ Г О df + id,-I d=Hdr-,di О J <213>
Здесь целесообразно использовать известные двумерные матрицы Паули 6i s.3 [II*] Тогда оператор дипольного момента
Глова 2
запишется как
A = ArO1-A1O2, (2.14)
а оператор ЙА как
Нл — Vb(^+ + W-)f+ 1A(W,. — IP.) б,, (2.15)
где / - единичный 2X2 оператор
Динамику атома можно описать в представлении Шредин-гера или Гейзенберга (см [11*1) Простота коммутационных соотношении для матриц Паули
[о,, osJ = 2іб3 и т. д. с циклической перестановкой (2.16) делает расчет в представлении Гейзенберга в нашем случае исключительно простым Теорию в представления Шредингера раз вивали Фейнман Верной и Хелворт |3] Уравнение Гейзенберга для любого оператора O. не зависящего явно от времени, имеет следующий вид
IkO=[O1 щ
В нашем случае
Ш = % (W+ + W-)1+ % (W+ - W-) ал -
— (dr ¦ Ё) O1 + (d; E) O2. (2 17) Матричные операторы Паули будут >довлетворять в результате следующим трем уравнениям
O1(O=-Шо62 (O+ f-M E(O]O1(O, (2.18а)
O8(O = (UuO. (0 + 1 Id, E(Ol 0,(0. (2 186)
MO = - f-№ ¦ EWI o' <'> - Ё('Я MO. (2.18b)
где
^ = W+ - w. {2m
есть частота атомного перехода it оператор электрического поля записан в представлении Гейзенберга
В рассматриваемом двумерном пространстве выполняются законы сохранения, которые автоматически слеіуют из свойств матриц Паули Например cj = c|=o'|=/. Поучительно проверить что матрицы Па\ли, рассматриваемые как зависящие от времени операторы, удовлетворяют им во все моменты времени Свойства матричных коммутаторов позволяют легко проверить что ад (0MO +МОМО —0 Следовательно
JjL 6^(0 = 0, н потому OJfO) = Oj(O) = /.
Оптические уравнения Блоха
47
Вследствие операторной природы атомных и полевых переменных динамические законы вытекающие из (218) весьма сложны особенно если j честь к tow же операторные уравнения Максвелла для зіектрического поля Обшеч. решение проблемы неизвестно, некоторые частные случаи рассмотрены в гл 7 Од нако для многих приложении весьма полезны родственные уравнения которые столь же сложны, но вес переменные уже пе являются операторами Переход к ним производится в предположении, что квантовые корреляции между нолем и атомом несущественны
Если такими корреляциями можно пренебречь, то средние от произведения операторов типа E(Oa3(O факторнзуются
<Ё (/) б3(0) = (Ё W) <o3(/)). (2.20)
Определим полуклаесичЄСК)іо теорию взаимодействия излучения с двухуровневыми атомами как теорию, базирующуюся на последовательном использовании такой факторизации в уравнениях (2 18) Если кроме того, необходимо привлечь и урав нения Максвелла, чтобы учесть возможное обратное влияние атомов на поле E(O путем переизлучения, то в полукласенче-ской теории используются уравнения Максвелла для средних значений поля вместо операторных уравнений Максвелла Вели чипа (Е(/, г0)) здесь интерпретируется как чисто классическое электрическое поле Существенным ограничением такой замены операторов является то что полу классическая теория не в состоянии правіїіьно описать спонтанное излучение Однако многие другие эффекты реакции излучения легко описываются ею (гл 4)
При замене операторных уравнении (2 18) уравнениями для средних значений удобно ввести обозначение s(i) = (о(1)) или
s1(OMMt)). /=1,2,3. (2.21)
Поскольку вплоть до гл 7 операторные поля не буч\т рассматриваться мы используем ради краткости обозначение Е(/, ru) вместо (E(^r0)) для среднего значения электрического ПОЛЯ Уравнения для трех компонент вектора S(O запишутся тогда в виде
*iW = -«iAW + J-[d, E(Z1T0)Is3U), (222а)
МО = и>оМ') + ^К ЕС r«)]s (0. (2.226)
*(0 = -|[d, E(J, r0)ls, (/) — |- [d, - E </. rD>l s? (0 (2.22b)
48
Глава 2
Эти уравнения н описывают взаимодействие двухуровневого атома с электрическим полем в полуклассической теории
Уравнения (2 22) удовлетворяют закону сохранения, который подобен операторному соотношению а\ + с| + с\ = З X Умножая средние значения sf, Sj. S3 соответственно на S|, S3 и складывая результаты, мы легко покажем, что
«НО+ sf<0 + 4(0 = coiist (2 23)
Менее очевидно то, что постоянная здесь равна единице Чтобы показать это, представим волновую функцию в общем виде
1Ф) = о|+) + Ь1-), (2.24)
т е. как произвольную суперпозицию состояний J+) и I—). Тогда, как легко убедиться,
5, (0) = <-ф 16,11])) = а'Ь + ab*, (2 25а)
S3 (0) = (ф [ O21 я])) = — I {а'Ь — аЬ\ (2 256)
S3 (0) = <ф IO3! ?) =! a P - 1 Ь р (2.25в)
