Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
17. Написать урс-внения Лагранжа для: а) сферического маятника из задачи 2; б) двойного плоского маятника (рис. 1); в) плоского маятника длины t и массы т , точка подвеса которого вращается с постоянной угловой скоро-т2 стью <Г? по окружности радиуса в
P^ 1 вертикальной плоскости, причем в мо-
мент времени t = О точка подвеса занимала крайнее нижнее положение.
18. Пружина свернута в виде тонкого кольца, одна точка которого неподвижна. К пружине последовательно прикреплены материальные точки с массами Irzj , тп t которые делят пружину на п +1 звеньев с коэффициентами жесткости соответственно к , ..., Kri + j . При движении материальных точек плоскость кольца неподвижна, а его радиус не меняется. Написать уравнения Лагранжа, взяв в качестве обобщенных координат ^f , ..., qп смещения материальных точек с массами rrvf , ..., тп относительно их равновесного положения.
1У. Функция Лагранжа частицы с массой т и зарядом Є, движущейся со скоростью гД в электромагнитном поле, имеет 8вид т -^2 е
L ^ T + с V-eV-)
где С - электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме, а А - (7т, t) и J - электромагнитные потенциалы, которые связаны с напряженностями злектрическо— ^ го и_магнитного JT" полей соотношениями E — ~ C^raJ І>- ~ -c^r к JT= rot Я . Написать уравнения Лагранжа и показать, что после некоторых преобразований они переходят в уравнение Ньютона, в правой части которого стоит сила Лоренца * 4-iF*jT) >
§ 3. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
20. Найти точки остановки механической системы, если ее функция Лагранжа /_, и начальные условия при t - О заданы:
а) L = (j(O) = O1 ?(0)-1-,
б) L = f+ г 1 1(о) = Г7 ?(0) = 1',
в) fio) = ?, (O)=I-
г) L = - у (О) = 0, ІІ
21. Частица с массой гп и энергией S движется в
одномерной потенциальной яме Zf(х) . Найти период T движения, если
г 2
а) If(Jr)-U0 при эс ^ Q и U(X) = U0 прилгу ;
- ? -зг
б) U(X) =U0 Є а при^<<7 и U(x)^Uoe§ при JC^O \
X2 2
в) U(X) = Uj при О и U(x)~Uztq -J при зс^О ,
22. Определить условия, при которых движение финитно, и найти период T этого движения в зависимости от энергии <§ ,
9если функция Лагранжа в безразмерном обозначении имеет вид: ,
a) L = <f~ (р б) ?, = q - ttj'cp ;
в
д) -Y-Yiay0" е) ^^f-f -fp -
23. Частица массы т приближается к точке or- 6 , в которой потенциальная энергия Ulx) имеет максимум. Функция U- U(je) к ее производные непрерывны в этой точке. Определить закон одномерного движения в малой окрестности точки JC =¦ ? слева X С Є я справа. ? ^ х от нее, если энергия ? частицы совпадает с высотой потенциального барьера -1/(6) > а в момент времени t—O она находилась В точке ,yC-J?.0.
24. Механическая система с К степенями свободы описывается функцией Лагранжа
к к
^p=I 2 <*-?> 1*. V? U tu
Здесь величины A^e > Cf w ^ являются функциями обобщенных координат , Cjrtri и времени t , где пг^К . Cn-ределить энергию 8 и обобщенный импульс ^s- . Сохраняют-» ся ли эти величины при движении механической системы?
25. Доказать, что в кулоновском поле Jf - вектор р
1 = ZT*M*о(-~р сохраняет постоянное значение, Здесь Pr- радиус-вектор, тг — скорость и M - момент материальной точки.
26. Частица массы т. движется в сферически-симмет— ричном потенциальном поле TJ--^-аг". Доказать, что тензор
T^e^zrrtsc0Ltax^ ^cJZ является интегралом движения, где величины JCoi при аС = 1, 2 и 3 обозначают компоненты дс , у и я радиус—вектора г~ частицы,
27. Доказать, что при движении заряженной частицы в постоянном однородном электрическом поле с напряженностью г величины Z=ITm и Zg = Vr* Mj *¦ г являются интеграла ми движения. Здесь Fr , гг , M и є - соответственно радиус—вектор, скорость, момент и заряд частицы.
1028. Частица с массой т и зарядом е движется в постоянном однородном магнитном поле с напряженностью /Г. Показать, что величины /, = (тг?+ г~)2 ъ
являются интегралами движения. Здесь Zr и tr™ радиус— вектор и скорость частицы, а с — электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме.
29. Какие из физических величин б , P и M с охра» няют постоянное значение при движении -заряженной частицы е постоянном электрическом поле: а) равномерно заряженного шара; б) равномерно заряженного бесконечного цилиндра; в) равномерно заряженной плоскости; г) двух параллельньх равномерно заряженных нитей; д) двух точечных зарядов?
30. Перечислить все независимые интегралы движения, не содержащие время явно, для следующих механических систем: а) свободной материальной точки массы т ; б) частицы мае™ сы т в кулоновском поле I/= ~ ; в) частицы с зарядом
Є в постоянном однородном электрическом поле с напряженностью F
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ .ДВИЖЕНИЯ
31. Материальная точка движется в поле тяжести по пря— мой, которая вращается с постоянной угловой скоростью со ъ вертикальной плоскости. Найти закон движения материальной точки, если в начальный момент времени t-U она покоилась в неподвижном центре вращения, а прямая заш?мала горизонтальное положение, перпендикулярное силе тяжести,