Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
X У у ,22..
д) по поверхности вращения Z=-Fi^c +У ) t если ось Z декартовой системы координат антипараллельна силе тяжести.
2. Сферический маятник представляет собой материальную точку массы т. , движущуюся по поверхности сферы радиуса
^ в поле тяжести. Найти его функцию Лагранжа.
3. Функция Лагранжа I. — L (^jt) ъ безразмерном обозначении задана. Перейти к новой функции Лагранжа L'- L ($,?) путем исключения из выражения /. ?) полной производной по времени от некоторой функции обобщенней координаты ср и времени t в следующих случаях:
5a) L^fJ^ftht-t-^f ; б) і. f+tffii-^',
в) Z = ^2-I-(tsin 2^ і- ер2} <р -Cqs2C^ •
г) V, (<? Ij^f2I* h
где и - произвольные функции своего аргументе.
4. Написать функцию Лагранжа плоского маятника, у которого масса т постоянна, а длина / меняется по задан»» ному закону С ~ ?(i) .
5. Найти функцию Лагранжа плоского маятника массы и длины / , точка подвеса которого с координатами ^c0 и движется в вертикальной плоскости XY по кривой, ооисьшае— мой уравнениями .X0-Jvc (i) и у0 = у , где заданные функции X0 (f/ и зависят от времени і произвольно, a oct
X параллельна силе тяжести.
6. Электрон с массой т и зарядом е движется вокруг покоящегося ядра с зарядом й . Определить функцию Лагранжа электрона з сферических координатах, предполагая.чте система находится в постоянном однородном внешнем электрическом поле с напряженностью T .
7. Функция Лагранжа L механической системы, состоящей из д/ материальных точек, в декартовых координатах записывается так'.L = T-U , где T - кинетическая энергия, «
U — энергия взаимодействия материальных точек между со~ бои и с внешнем полем. На материальные точки нало»ены го-леномные связи, которые описываются уравнениями:
/. , ~rNlt)=0, j=/, ... ,п,
<г
где г. - радиус-вектор I -й материальной точки {I = 1,...,Л"). Доказать, что после перехода к обобщенным координатам ср , • eP^ функция Лагранжа принимает вид: к к
L = 27 І Ї + ? ^ W.
«>?*i ? ^ Здесь К =3N~n— число степеней свободы, а величины , Scc и У* являются определенными функциями обобщенных координат и
времени. При каком условии велич инь: а, і Qr и У/ имеют
oC,? = Ґ фЫР
физический смысл соответственно кинетической и потенциальной энергий данной механической системы?
68. Маленькое кольцо массы т f подвешено на невесомой пружине с коэффициентом жесткости к и может пере.« мешаться только вдоль вертикального стержня, на который на«» низаны эти кольцо и пружина. Длина недогруженной пружинь1 . К этому кольцу прикреплен плоский маятник длины ? и мае-» сы mz , Определить функцию Лагранжа данной механической си™ стемы, совершающей движение в поле тяжести.
9. Вдоль невесомого стержня длины ? плоского маят™ ника с массой т перемещается без трения маленькое кольцо с массой т0 , которое прикреплено к точке подвеса маятника невесомой пружиной жесткости к * Длина ненагруженной пружины , причем fc < 6 . Найти функцию Лагранжа этой ме™ ханической системы.
10. Система состоит из двух плоских маятников одинаковой длины F , но с разными массами т и тг , Маятники связань между собой невесомой пружиной с коэффициентом жесткости к , которая при сжатии и растяжении остается прямолинейной. Концы пружины прикреплены к маятникам в средних точках. В ненатянутом состоянии пружина имеет длину P0 , совпадающую с расстоянием между точками подвеса. Найти фун-» кцию Лагранжа механической системы, если маятники совершают движение в одной плоскости в поле тяжести.
§ 2. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
11. Выразить ускорение через обобщенные координаты и скорости в тех случаях, когда функция Лагранжа в безразмерном обозначении имеет вид*.
а) I - ф2'cht + Cjf* ¦ б) L = 1+*
в) L = ^ ; г) ^?/*^??*??'
12. Движение частицы массы пг в декартовых координатах описывается функцией Лагранжа
/ > 2 - / . « .2 L - -g т JZ - J~Qt эг - -Jj-оС ^C ^
Где F0 и A — постоянные. Определить силу F , приложенную к частице.
13. Непосредственным вычислением доказать, что уравнения Лагранжа механической системы с К степенями свободы
7не меняют вида при замене функции Лагранжа L -L (у, на новую функцию Лагранжа L-L ?-¦••¦) fa^t) по формуле
где / (jp ^t) - произвольная функция обобщенных
координат а , ф и времени / .
14. Материальная точка массы т движется в поле тяжести по поверхности конуса с углом 2 O0 при вершине. Конус расположен вертикально вершиной вниз по направлению силы тяжести. Составить уравнения Лагранжа, описывающие движение материальной точки в сферических координатах.
15. Материальная точка массы пъ движется по поверхности параболоида вращения О-В. + yZ . Ось Z декартовой системні координат антипараллельна силе тяжести. Найти уравнения Лагранжа в цилиндрических координатах.
16. Протон с массой гп и зарядом е движется в потенциальном поле UPn -? равномерно заряженной нити, которая параллельна силе тяжести. Здесь ср - линейная плотность заряда нити, - расстояние от нее до протона, а /? -некоторая постоянная с размерностью длины. Определить уравнения Лагранжа в цилиндрических координатах.