Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
OO OO
- у 2 К» (t)+а*п(г) - в*°» (°) - в*« (°)] - т2 **»вк»+41).
п=1 п=1
(Д-зз)
ОМВТГГА ТШТ.ТК ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
32*
Вычисляя интегралы и устремляя затем в (Д.ЗЗ) і к оо, найдем6* (O), а следовательно, и 6* (t).
Для определения постоянных 4? (0) и величины б™ воспользуемся условием (Д.8). С ЭТОЙ целью ДОПОЛНИМ систему {ф2п(я)} (« ^ 1) собственных
функций оператора Аг|) вида (Д.4), (Д.25) элементом фо(я) == 1/}'2. Тогда
последовательность функций {ф2п(я)} (п ^ 0) будет ортонормировапа и полна в іг(—I, 1)- В согласии со второй формулой (Д.29) получим
OO
2F (X) = - 2 hп%п (*). A0 = - VT Д/А. (Д.34>
п=о
Разложим еще ПО системе {ф2п(л)} (га ^ 0) функцию /(л):
OO
/(*)=.? АіЛп И- (Д-35)
71=0
Ряды (Д.34) и (Д.35) равномерно сходятся при \х\ sj l в силу свойств; F (х) и f(x). На основании формул (Д.23), (Д.28) и (Д.9) найдем
OO
Ф (*, 0) = 2 Х2пФгп (*). xO = A= nO (°)*
71—0 *
*2П = 4°rl (O) + «Й? (O) («>!)• (д-36)'
С помощью разложений (Д.34) — (Д.36) и с учетом ортонормированности системы функций {фгп(я)} (га ^ 0) из уравнения (Д.8) получим
OO
*0 = [6OO + б* (O)] — /0 + --7= 2 X2nh2n’
V " «~о (
п =(1+ ^Р-гп) 1 (^гп^о/Т^ — fan)’
Здесь было учтено, ЧТО {фи(^)} (га ^ 1) являются собственными функциями оператора AiJ) вида (Д.4), (Д.25) и удовлетворяют второму условию (Д.24). Из второго соотношения (Д.37) найдем систему постоянных (O), а затем из первого равенства (Д.37) — постоянную 6«. Резюмируя вышесказанное, заключаем, что при «-> оо существует предельное решение (р(х, оо),. которое можно также получить из уравнения (Д.19). Действительно, подставляя в (Д.19) разложение (Д.35) и
Ф (*, оо) = 2 хг»ф8п (*), X0- = _L TV00, n=o V 2-
21 В. М. Александров, Е. В. Коваленко
322
ДОПОЛНЕНИЕ
получим соотношения для определения X^n (га ^ 1) и Soo:
OO
(< +1) К - V2 6. -,. + ^ (к+2 ДГГА,.
ХГ» = [ № + ™) ^2n/Vf - Mtп] «2~п (1 + V2n)-1 (и > !)•
Заметим еще, что при ц = О нужно б (г) представать в форме (Д.20), а ф(х, г) — в виде
ф (*, t) = ф (х) + ф (г) + ф* (і, t).
Величины б и ф(і) связаны уравнением (Д.21), причем
і
j ф (X) dx = JVpoof 2ф (г) = (0.
-X
Решение уравнения (Д.21) дается формулами
I (X) = 2 ^2ПФ2П (*)»
1/2 N°°' mX.h,
о=У2 8 + :^=:^Х2Лп,Х2п =
О 271
T /о* ^ 2П 2п7 2П n Z7T -
V2 П, У2 (г + гац2п)
На основании полученных результатов можно сформулировать теорему. Теорема Д.З. Ряд (Д.23), (Д.28), (Д.9), (Д.31), (Д.12), (Д.14), (Д.32) {в (Д.12) нужно заменить Ягп на Цгп) для ф(х, t) сходится в С(—I, I) X ХС(0, Т) и доставляет решение интегральному уравнению (Д.З) при заданной функции N0(г) вида (Д.22).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К г л а в е I
1. Линейные уравнения математической физики /Под ред. С. Г. Михлина.— М.: Наука, 1964.
2. Ш т а е р м а н И. Я. Контактная задача теории упругости,— М.; JI.: Гос-техиздат, 1949.
3. Галин JI. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.
4. Довнорович В. И. Пространственные контактные задачи теории упругости.— Минск: Изд-во БГУ, 1959.
5. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
6. P в а ч е в В. JI., ' П р о ц е н к о В. С, Контактные задачи теории упругости для пеклассических областей.— Киёв; Наук, думка, 1977.
7. Лурье А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.
8. Лойцянский JL Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука, 1978.
9. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1977.
10. Функциональный анализ/Под ред. С. Г. Крейна.— М.: Наука, 1972.
11. К о л м о г о р о в A. H., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1968.
12. Вули х Б. 3. Введение в функциональный анализ.—М.; Наука, 1967.
13. Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И. Элементы функционального анализа.— М.: Наука, 1965.
14. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.—М.; Л.: Гостех-издат, 1948.
15. СнеДДон И. Преобразование Фурье.—М.: ИЛ, 1955.
16. T р а н т е р К. Интегральные преобразования в математической физике.— М.: Гостехиздат, 1956.
17. Б о х н е р С. Лекции об интегралах Фурье.— М.: Физыатгиз, 1962.
18. Випер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения,—М.: Физмат-гиз, 1963.
19. В и н е р H., П э л и Р. Преобразование Фурье в комплексной области,— М.: Наука, 1964.
20. Д и т к и н В. А., П р у д н и к о в А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.— М.: Физматгиз, 1961.
21. У ф л я н д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.— Л.: Наука, 1967.
22. К н я з е в П. Н. Интегральные преобразования.— Минск: Вышэйш. шк., 1969.
23. П о п о в Г. Я., Ростовцев Н. А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости.— Труды III Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966.
24 С е ft о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1966.
25. Г а х о в Ф. Д., Черский Ю. А. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.
