Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
CO
/ (*) = 2 VP*» (*) (Д-16)
П=1
найдем
(O) = {[в» + (O)] S2n - Un) (1 + ЩпГ1 - 41™ (°)- (Д-17)
Далее, по первой формуле (Д.2) определим N0(t):
OO
(<) = 2 HЯ W + 4« (*)] ?2П- (Д-1»)
п =1
Из соотношений (Д.6), (Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) видно, что при t оо
существует предельное решение ф(1, оо). Его можно получить более про-
318
ДОПОЛНЕНИЕ
стым путем. Именно, если в уравнении (Д.З) допустить, что <р (х, t) = О, вычислить интегралы по і и устремить затем t к бесконечности, то
(і + і|ф(*,оо) + ^ + ^-)аіф(Е,00)1 = 6,,-/(*) (UK 1). (Д-19)
Внося в (Д. 19) разложение (Д-16) и
OO
ф(х,оо)= 2 OanOr)*
72—1
найдем
п -'п
2" (l + ty, ^ + ^„(Ar+mjj, 1>‘
Заметим еще, что при ц = О функции 6(t) и ф(і, t) следует предста-
вить в форме [4]
6(0 = 6,. + 61 + 6,(*), ф (I, t) = ф (х) + ф0 (х, t) + фх (X , t),
причем величины 6 и <р(х) связаны легко вытекающим из (Д-3) уравне-
нием
г<р(і) + тА[<р(1)] = 6 (|i|s?l), (Д-21)
решение которого имеет вид
^s2n
я= і 1 + тКп
На основании полученных результатов можно доказать теорему.
Теорема Д.1. Ряд '(Д.6), (Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) для <р(х, t) сходится в С(—I, 1) ХС(О, Т) и доставляет решение интегральному уравне-
нию (Д.З) при заданной функции 8(t) вида (Д.5).
2. Пусть теперь N0(t) еС(О, Т) изменяется во времени по закону
N0W=N^Nm(I)t JV, ({)-> О (^OOjJV00=Const). (д 22) Будем разыскивать ф(я, t) в (Д.З) в виде [4]
Ф (х, t) = ф (t) -f- ф# (X, ?), (Д.23)
где в соответствии с первым соотношением (Д.2)^ положим
1
JV0 (t) = 2$ (t), J Ф, (.г, t) dx = 0. (Д.24)
-1
!СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
319
Тогда, опираясь на результаты предыдущего пункта, можно функцию 6(i) представить в форме (Д.5), а исходное интегральное уравнение (Д.З), (Д.4) при условии (Д.8) разбить па эквивалентную ему систему, в которой fp* (х, () удовлетворяет неоднородному уравнению (Д.7), где
I ? •— х
Г (І, х) — — In J ——
-1
h (х, i) = [D — 2kF (і)] [ ф (?) — ф (0) -j- Znft-1Bq)] (D = const),
я ф(«) паходшгся из соотношения
<1 + D) [ф («) - ф (0)] + (I + т&^Вф) = б* («) - б» (0) -
і і
- к j [ф* (?,«) - -ф* (Б, 0)] F (I) dl - тВ j ф* (Е, т) F (I) dl. (Д.26)
-I -1
Заметим, что ядро г(|, х) вида (Д.25) симметрично и обладает тем свойством, что
і 1
Ф,(Е,Ог(Е,*)ЛЕЛ* = о. (Д.27)
-і -і
Введем в рассмотрение пространство ?® ( Ij 1) функций, интегрируемых с квадратом и имеющих нулевое среднее значение на сегменте [—1, 1]. Нетрудно доказать, что пространство ?<> (_ 1) является полным подпро-
странством Ь2(—і, I).
Теорема Д.2 [4]. Интегральный оператор Агр (Д.4) с ядром (Д.25) является самосопряженным, вполне непрерывным и положительно определенным оператором, действующим из L\ (— 1,1) в L02 (— 1,1).
Из теоремы Д.2 следует, что имеют место теоремы 1.4 и 1.5, причем
Jln > о, Jln-> 0 (п -> OO ) и Xn <. JJ-It < Xn-H (п Js 1),
где Яп и Jin — собственные числа оператора Аф соответственно с ядром (Д.4) и (Д.25).
Функцию ф* (x,t), удовлетворяющую интегральному уравнению (Д.7), 4Д.25), будем искать в виде
Ф* (*, 0 = Ф0 (*, 0 + (*, 0, (Д-28)
где фо(г, 0 —общее решение однородного уравнения (Д.7), (Д.25), а <Pi(z,- t) —решение этого же неоднородного уравнения. Выбирая ниже постоянную D во втором равенстве (Д.25) таким образом, чтобы h(x, t) є (— I, 1) при любом г є {О, Т], представим функции ф^(г, t) (/ = 0, 1)
+ dQ-F (I)-F(x),
In
1-У
+ d
о) dy,
(Д.25)
320
ДОПОЛНЕНИЕ
и h (х, t) в форме (Д.9) и
h (х, t) = к [ф («) — Ф (0) + тк гВф] 2 hZnfPin
П=1
, (Д-29)
h2я = —2 J Фгп
где {ф'2п (я)} (га 1) — система четных собственных функций оператора А с ядром (Д.25).
Подстановка <p0(*, t) вида (Д.9) в (Д.7), (Д.25) приводит к однородному уравнению (Д.10), решение которого имеет вид (Д.12). Здесь только везде нужно заменить Xn на р.п. Внося далее вторые формулы (Д.9) и (Д25) в неоднородное уравнение (Д.7), придем к соотношению для определения
функций 4п№:
(1 + kHn) [4п « - 4п (°)] + (1 + т^2п) Ва2П =
= AA2n [?(«) — ф(°)+гаА-1вф] (0 (Д.30)
Для решения уравнения Вольтерра (Д.30) напомним, что система {ехр(—(Xint)), где Ocn определяются формулой (Д.13) с заменой Я2п на |х2п, замкнута в классе непрерывных, исчезающих на бесконечности функций. А тогда, принимая во внимание (Д.22) я первую формулу (Д.24), запишем
ф W = Y + 2 e2ie~a2iij’ (Я-31)
причем ряд в (Д.31) равномерно сходится при ts [0, Г]. Подставляя (Д.31) в (Д.30), найдем, что функции (t) имеют вид (Д.14), где
mKneUV- сыР
о.
(Д-32)
пі 2 (ц - a2i) (I + шц2п) н - a2i’
h2ne2i № № - Ы2і)+ mI СПІ 2(1+йц2п)(а2п-а2і)'
' h2 П
Ъпп = ЦІ + m|x2n) (mNoc -
к2ПЄ2П [* (.U - а2п) + т] (J1 - “2п)
Спп 2 (1 + тНп)
Таким образом, из (Д.12), (Д.14), (Д.28), (Д.9) и (Д.32) заключаем, что функция ф, (х, t) определена с точностью до счетного множества постоянных (0) (га ^ 1). Внося ее выражение, а также (Д31) в (Д.26), будем иметь б, (t) — б, (0) = (I -j- D) [ф (t) — ф (0)] -)- (l -j- Ttik-1D) Вф —
