Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Vy(x, 0, t) = v (х)еи'#(г), v(x)= v(x) (|х| -S а),
(7.5)
V (х) = 0 (Ixl > а), Po(x,y,t)-+0 (х2+ г/2-* °°).
310 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Лапласа — Карсона по t [20]:
L
Фо
Фо
(х, У,р) = р j е_р‘фо (ж, У, t) dt (Re P = Є > %),
О
Є+Іоо
(*, y,t) = 2^т І (х’ у^ р)
В результате придем к следующей краевой задаче:
с2Дф? = р2ср?, (7.7)
d<fo '
ду
У=о
v(x) р-х’ Фо-^0 (ж2 + г/2->оо). (7.8)
Далее, для решения уравнения (7.7) применим интегральное преобразование Фурье по переменной х. Положим
L
Фо
(х, у, р) = ~ J фо F (а, У, р) е iaxda,
—OO
(7.9)
Фо" (а> У, P)= J Фо (х, у, р) eiaxdx.
— OO
Внося (7.9) в (7.7), придем к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции фоF (а, У, р):
(ф.П' - («2 + PaO Фо" = 0, (7.10)
общее решение которого имеет вид
Фо'*’ (а, У, Р) = C1 (а, р) ерг/ + C2 (а, р) e~Pv, P= Va2 + р2с~2.
(7.11)
Произвольные функции Cj(a, р) (/ = 1, 2) определим из граничных условий (7.8), трансформированных по Фурье. Опуская элементарные выкладки, получим
^C1 (a, p) = vF(a)p(p — K)-1, C2(а, р) = 0, (7.12)'
где vF(а)—трансформанта Фурье функции v{x). Теперь в согласии с выражениями (7.6), (7.9), (7.11) и (7.12) будем иметь
OO 8+ІОО
Ф„(х,°,!)-^ Jj (7.13)
— со е— joo
§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА
311
Вычислим внутренний интеграл в (7.13), воспользовавшись формулой свертки для преобразования Лапласа — Карсона [20]. Получим
8-f ioo
Ё—{оо У “ -Г л С t
где J0 (х) — функция Бесселя.
На основании асимптотических формул [6]
Jo W ~ (т-^00)»
OO
Г (a, t) = j* е~\а~^х ~ fa_1e~* (t оо)
(7.15)
(Г(а, t)—неполная гамма-функция) можно заключить, что второе слагаемое в (7.14) при fоо убывает как t~in. Отсюда следует, что при достаточно большом безразмерном времени tt = Ktit. таком, например, когда е/л* 1, вторым слагаемым в
(7.14) можно пренебречь по сравнению с экспоненциально растущим первым. Допустим теперь, что в (7.1) величина у < 1, тогда может существовать диапазон изменения безразмерного времени
Г'). В этом диапазоне на основании формул (7.13) и
(7.14) найдем
<ро(х,0,і) = ±ем da. (7.16)
Ja ; мЧ * с
Возвращаясь теперь к смешанной краевой задаче (7.3), (7.4), используя формулу (7.16) для определения функции v(x) при и замечая, что
р0(х, О,t)& — ур^е*1 (U| =? а), получим следующее интегральное уравнение:
а
j У (I)K0 [-J (I - *)] dl = ( M < а), (7.17)
—а
где K0 (х) — функция Макдональда. В безразмерных переменных п обозначениях
/ ? ?•/ і Л С
Х о ’ а ’ ш *
J1(X) / = _?*х_
уравнение (7.17) примет форму (7.1) гл. 1, причем f(x) = f,
312 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
а ядро k(t) = K0(t) будет иметь вид (1.3) гл. 2 с символом
К (и) = (и2+I)-*'2 (7.18)
(штрихи у безразмерных переменных далее будем опускать). Обратим внимание, что полученное интегральное уравнение полностью совпадает с уравнением (7.1) гл. 3. Интегральную характеристику (7.2) — расход — при t„ ^ t' ^ T' можно после решения уравнения (7.17) определить по формуле
а
Q(I) = P^i \ V (I) Al, (7.19)
—а
а вводя обозначение
N0 = Q (t) е~м (cp*a)~\,
найдем, что величина N0 дается формулой (6.19) гл. 4.
Итак, можно заключить, что если в задаче об истечении сжимаемой жидкости из емкости расход ее возрастает с течением времени по экспоненциальному закону, т. е. Q (t) ^ext, то приращение давления р0 будет при f'> f* в сечении у = 0, Ixl=^a иметь асимптотику р0 (х, 0, t) ~ — Р*уея\ где величина у связана с характеристикой распределения скорости v(x) в этом сечении интегральным уравнением (7.17). Справедливо и обратное утверждение: если приращение давления в жидкости на вы-
ходе из сосуда возрастает с течением времени по экспоненциальному закону, т. е.
Ро(х’ ---------P*yeKt (У = 0, Ul =? а),
то и расход ее при ?'>• і* будет иметь асимптотику Q(t)~eKt, причем связь величины у с величиной Q(t)e~xt может быть установлена из соотношения (7.19) после решения интегрального уравнения (7.17). Анализируя этот результат, можно получить следующий способ понижения размерности в нестационарных динамических смешанных задачах при достаточно большом безразмерном времени.
Если возмущения в сплошной среде возрастают с течением времени по экспоненциальному закону, то главный член разложения решения задачи при достаточно большом времени может быть получен без применения преобразования Лапласа — Карсона по времени, если искать его в форме произведения функции только координат на соответствующую экспоненту.
Возвращаясь к поставленной задаче о разгерметизации сосуда, заметим, что при больших X решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1 с ядром вида (1.3) гл. 2, (7.18) в случае
§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА
313
/(ж) =/ = Const может быть получено по формулам (8.31), (8.32) гл. 2, в которых следует ПОЛОЖИТЬ
, 1
dij =
[(2/)!!
|2 »
1
[In 2 + г|) (/ + 1)],
I(2/)!!]
