Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
141
Функции Cn (s) (п = 0, 1, ...) имеют ВИД
OO
1/2 с Г TJn-1^e-Vs CM-IL-е- -dy. (4-12)
О '
Вычисляя интеграл [5] в (4.12), получим
сп{8) = ПГл{2п-1)\\0-2п-,{2Ь) (п = О, 1, ...)', (4.13)
где Dn (х) — функции параболического цилиндра [5]. Функцию Co1(S) будем искать в форме
OO
CO1 (S) = J Ъ ±1 2 A^Ln'1* (2s),: ^ (4.14)
Vs п=о
аналогичной (4.8).
Внося соотношения (4.8) — (4.11) и (4.14) в уравнение (4.4) и используя формулу (4.6), получим для определения следующую бесконечную систему:
OO
= -5- + 2 (40) + Af) (- Щп + Bfn + Cjn). (4.15)
і—о
Здесь введены обозначения
оо 2 °°
B- = ^b- (S) ds, BJn = ^ J Ъ~ (S) ~ Lfu (2s) ds,
О о *
оо
в& = Є-1Г-1‘-уЩ- <s + &)] ds‘ (4Л6)
О
оо
Cjn = е~ъуп f 4т= Ltu [2 (S + b)] ds (І, п = 0,1,...).
J 1/5 4-0 о
Постоянные Bn и В Jn с помощью интегралов И
e~sysaLl (s) ds = rta^nVi"11- (Re a > - I1 Re у > 0),;
о
(1.20) и (2.40) гл. 2 представим в следующем удобном для вычислений виде:
OO
V2(-1)V г .
в
л
о
00
2 (— 1)3+пу„ С п„ (иА_1)
Bin -----------—--------\ Л----------1COS [2 (п т) г|з] du
І У і +и2 (ajj = arctg щ і, п = О, 1, ,..).
du,
(4.17)
142 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Постоянные Cjn с учетом (4.13) могут быть вычислены при помощи интегрирования по частям и использования формулы [5]
OO
f»>°'ь>0>-
Приведем выражения, определяющие эти постоянные, для некоторых значений j и га:
Coo = ^b [K0 (Ъ) + K1 (Ь)]-2 (Il)V6i
Cu, - |Н(т-4)*.т + (т-4)*.Н+ !(!•)’'¦ (4-!)'“ь.
C11 -4С„ + 2(f)’V\ (4.18)
- К [(f - f + 16) (Ч + (і? - f +1в) х> <»>] +
Здесь Kv(Ь)— функции Макдональда [5]. Постоянные Bfn с учетом (4.11) могут быть преобразованы к ввду
D+ (-DnVzyn с TljsM"1)
;п - Jd + и*)*/«
С п {иА 1)
¦ J (TfvF1ьЛи) '
{ 00 ) (4.19)
ь„<«) - „-"Re Je-W-V.,* jL-V, [2(,+ 4,^.
Для вычисления функций %jn(u) в (4.19) воспользуемся интегралом [5]
оо
/» —$у -- --
г¦%— ds = у ^ebv[i —evl (Vby)] (Re г/ > 0, |argb|<Jt).
J у S о У
Тогда, например,
Ъп{и) =7-=^Ш {е~и2п+т+ыь evk[Vb{i + iu)]) (га=0,1, ...),
(1+и ; и
(4.20)
erfc(a;)= I — erf (х) = ¦¦ - - Г e~l“dt.
Т/л J
Ул
Перейдем теперь к вопросу о решении бесконечной алгебраической системы (4.15). Как показывают решения конкретных за-
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
143
дач, при Kl с достаточной для практики точностью в правой части системы (4.15) можно пренебречь слагаемыми, содержащими неизвестные коэффициенты А1+1. После этого сумму в правой части на основании соотношений (4.5), (4.8), (4.17) — (4.20) можно представить в форме интеграла. Расчеты также показывают, что при к < 2 при решении системы (4.15) можно пренебречь в правой части слагаемыми, содержащими Bfn.
После решения системы (4.15) функция ф(ж) найдется согласно формулам (10.2) гл. 2, (4.2), (4.5) и (4.14). При этом для интегральной характеристики решения Ne (2.37) гл. 2 может быть получено выражение
В заключение обратим внимание на следующее. Если ядро исходного интегрального уравнения представимо в форме (3.18), то вместо спектрального соотношения (4.6) можно использовать соотношение [3]
В остальном же схема построения приближенного решения при малых К не изменяется.
§ 5. Замкнутое решение интегрального уравнения (7.1),
(7.7) гл. 1 в форме, содержащей сингулярные интегралы.
Случай двух участков интегрирования и периодическая задача.
Двухсторонняя оценка
для интегральной характеристики решения
1. Построим замкнутое решение интегрального уравнения
(7.1), (7.7) гл. 1. Как мы видели выше, к такому интегральному уравнению сводятся модельные задачи гл. 1, и, кроме того, оно возникает в качестве главного приближения для смешанных задач типа а) при любых значениях параметра К є (0, оо) (см.
Продифференцируем уравнение (7.1), (7.7) гл. 1 по х. Получим
ь
Ni = (26 + I) erf ( Yb) - Ъ + 2 VЬ/пе~ь.
р — пуъ / Г-\
±—-U2n(Y i-e-ny)* (4.22)
п ~Г /2
(3.18)).
1
TC
к
і
44 гл. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
В сингулярном интегральном уравнении (5.1) произведем замену переменных и введем обозначения по формулам
T =
t =
2епх/к ¦
Ъ = е
яД
а = е~п1\ Будем иметь
Ь — а ’ Ъ — а 1 1 (5 2)
ф (т) = ф (ё) е~^Л\ е (t) = Г (X)
'ф (т)
T— t
= я g(t) (|*|<1).
(5.3)
Таким образом, решение интегрального уравнения (7.1) , (7.7) гл. 1 эквивалентно решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши, рассмотренного в § 2 гл. 2. Именно, если g (t) *= Н0 (-- I, I) (0<а^1), а это будет в том случае, если / (х) є Hf (—I, 1), то согласно теореме 2.2 решение интегрального уравнения (5.3) имеет вид
^(t) =
Vi-X
р*
—— dx , Р* = j Ij) (т) dx,
— 1
(5.4)
причем if>(?)eLp(—I, I) (1<р<2).
Возвращаясь в (5.4) к старым переменным и обозначениям (5.2), получим решение сингулярного интегрального уравнения (5.1) в форме
ф(*)=
% 1/2 [ch (яД)—ch (пх/Х)]
Р*
1
