Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
I
UinCOSUtdU ! "і/я
(a2 + u2)v+^ =(_ } Ti
(3.22)
(а > 0, 0 =? п < V2 + Re v).
Таким образом, по-прежнему первое слагаемое в представлении (3.21) отражает все основные свойства ядра k(t), а второе играет второстепенную роль. Поэтому, чтобы построить решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1 с ядром (3.21), эффективное при всех значениях параметра Лє(0, °°), нужно точно обратить интегральный оператор с ядром Ka(tA~l) (см. § 8).
Пусть теперь [1] аппроксимирующая функция (и) и~1 имеет вид (9.41) гл. 2.
Здесь мы уже имеем, в отличие от (3.17) и (3.20), две варьируемые постоянные Hi ж h2. Соответствующим их выбором можно добиться большей точности приближения. Если, например, эти постоянные выбрать таким образом, чтобы Zi1= Ah2 и значение sup 11 — L (и) L~x (и) I при всех 0 =? и < °° было наименьшим, то будет выполнено условие (3.16) при к = 0 и условие (3.15). Если в качестве второго условия для выбора постоянных использовать (2h])-1 - h22 = D1, то по-прежнему будет выполнено условие
(3.15) и условие (3.16) при к = 0, 1.
Более точные аппроксимации, удовлетворяющие нужным требованиям, могут быть получены умножением правой части (9.41) гл. 2, а также функций L^(U)U-1 вида (3.17) и (3.20), на выражение [1] Pi(U )ZP2(Uz), где Pl(Uz) и PJu1)— полиномы одинаковой степени. Приближенное решение оказывается более простым, если потребовать, чтобы ПОЛИНОМЫ Pi(Uz) И Pi(Uz) имели лишь чисто мнимые пули. Увеличивая степени таких полиномов, можно добиться сколь угодно высокой и равномерной по и^(—°°, °°) точности аппроксимации, если для нулей полиномов Zn справедливо соотношение Zn = О (п) при п -*¦ оо.
Наконец, пусть L(и) удовлетворяет условиям (7.12) гл. 1 и при и -*¦ оо условию (8.33) гл. 2. Тогда можно аппроксимировать L(u)u~l выражением (9.41) гл. 2, а затем отношение L (и))Ь^(и)
§ 4. ДРУГОЙ МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
139
аппроксимировать функцией вида ехр[с,|.і(ц)], где ц(и)—опять функция, аналогичная (9.41) гл. 2. Нетрудно убедиться, что сконструированная таким образом аппроксимация
= (3.23)
и и“ ~г Ik
будет удовлетворять всем необходимым требованиям. В функциональном уравнении вида (9.17) гл. 2 символ L(u)u~l легко факторизуется. Для этого, очевидно, достаточно с учетом теоремы 2.16 представить р(и)= jlx+ (гг) + Ц-(гг).
§ 4. Метод ортогональных многочленов, эффективный при малых значениях А,
В этом параграфе на основе аппроксимации ядра интегрального уравнения (7.1) гл. I k(t) вида (3.20) построим приближенное решение, эффективное при малых значениях параметра К [10].
Как было показано выше (см. лемму 2.11), решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 при f(x)^l и достаточно малых значениях параметра % имеет структуру (10.2) гл. 2, причем «погранслойная» часть решения со (г/) определяется согласно (10.1) гл. 2. Подставляя (3.20) в (10.1) гл. 2, производя в полученном соотношении замену переменных и вводя обозначе-нля по формулам у' = уА~\ s' = sA~\ 2 (A'k)~i = b, k(t) = = k' (tA~l), со (у) = &>'(у') (штрихи далее опустим), придем к следующему интегральному уравнению относительно со (г/):
OO OO
со (s) Kq (s у) ds = j" со (s) т2 (s — у) ds +
О о
оо
+ I co(s + &)+-|& k(s + y)ds (О<г/<00). (4.1)
О L
Будем искать решение уравнения (4.1) в виде
co(z/) = CO0 (У) +<»!(?/), (4-2)
где <»о(у) и Co1 (у) соответственно определяются из интегральных уравнений
OO OO
jco0(s)^0(s — y)ds = J b j K0(s + y)ds (0<z/<oo), (4.3)
о о
оо оо
J CO1 (s)K0 (s-y)ds = — I [CO0 (s) + CO1 (s)] Ttili (s — у) ds +
о о
оо оо
+ J ь Iт% (s + y^ds + I [®° (s + &) + щ + k(s + У)ds (4-4)
О о
(О <г/<°°).
140 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Решение Сравнения (4.3) может быть получено методом Випера—Хопфа, изложенным в § 9 гл. 2, и имеет вид
CO0 (у) = 0,56 [erf (Vy) + (пу) ~l/2e-v - 1]. (4.5)
Для решения интегрального уравнения (4.4) нам в дальнейшем понадобится спектральное соотношение [3]
OO
Ґ Ь-;,г (2s) K0 (s - у) ds = Z- e~yL~^(2y), (4.6)
• > V S Tn
о у
Y„ = І2/п(2п)\\[(2п — I)!!]-1.
Здесь Ln (х) — полиномы JIareppa [5], составляющие полную ортогональную на отрезке [0, оо) с весом е~хаf1 систему функций.
Условие ортогональности для них может быть записано в форме [5]
Разложим CO0(s) в ряд по полиномам JIareppa:
CO
Co0 (s) = 1 Ъ 2 A^L-*'• (2s) (4.8)
п=о
И C учетом (4.7) представим коэффициенты A^n в виде
Д0) = Tn [(- 1)” /2 - a\?l ai0) = Ylfn Y-1F (- п, I; V2; 2).
Здесь F(a, Р; у; х)— гипергеометрическая функция [5]; постоянные а^0) могут быть найдены из следующей рекуррентной формулы:
а{па) + ^0)н = - (2п- I)!! [(2п + 2)!!]"1 (п = О, I, .. .; а<0) =l).
Разложим теперь в ряды по полиномам JIareppa функции (s — у), m2(s + у), Ka(s + у). Будем иметь
CO
т2 (s + у) = 2 УпЪп (s) e"vL~4i (2у), (4,9)
П=0
оо
K0 (s + у) = л 2 Cn (s) e~vL~1'2 (2у), (4.10)
п—О
CO
Ьп (s) = J т2 (s±y)~ L~l'°- (2у) dy, (4.11)
§ 4. ДРУГОЙ МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
