Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф* (х) = COhs (х) (I — X2)~1U, CD* (х) Є Щ (— I, 1).
Теперь па основании (3.11) и второй оценки (8.9) гл. 2 можно заключить, что при є ¦< є* имеет место соотношение
Il ® (х) — (ж)11нт< g02 (^) I + — Il Ф* Ilip +X + ' (3-12)
Рассмотрим случай, когда аппроксимирующее ядро имеет вид
OO
Zch. (t) = Jcos ui du, (3.13)
о
где UT1Lf, (и) — четная, действительная на действительной оси функция. Возникает вопрос, как должна Lh. (и) аппроксимировать функцию L(u), чтобы выполнялось соотношение (3.1). На него отвечает следующая
Лемма 3.3. Если при всех I и I < 00
I L (и) — L* (и) I < H11 и I <Tv|ul (3.14)
и |х4 мало, то справедливо соотношение (3.1) при любых і и н< =? N < °°.
Если при всех I и І <= [О, °°)
I L (и) — Lh. (и) I < (л2! и |3 (и2 + h2)~s/z (3.15)
и Иг мало, то справедливо соотношение (3.1) при любых К и п = 1.
Доказательство леммы вытекает из формул (1.19), (1.24),
(1.26), (8.1) — (8.3) гл. 2, а также из леммы 2.1 и следствия 2.1.
Заметим, что при малых X, помимо условия (3.1), целесообразно также требовать, чтобы аппроксимирующее ядро (t) обес-
печивало точное определение вырожденной части решения v(x) (см. (9.1) гл. 2 или третье уравнение (10.29) гл. 2), а также экспоненциальный характер затухания «погранслоевой» части решения co(s) (см. первые два уравнения (10.29) гл. 2). He останавливаясь на подробностях, приведем без доказательства две теоремы, дающие ответы на эти вопросы.
136 ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Теорема 3.5. Пусть функция ZjLlt. (?) аналитична в комплексной плоскости и регулярна в полосе Iwl < °°, Ы =? с. Если к тому же
T Г U 1(2«
Iim ,
>0LL*-И'
= Iim
= (2/е) !ZM (3.16)
L(U)1
(к = О, I......N),
а правая часть уравнения (9.1) гл. 2 имеет вид
g (х) = 2 gjx3 (п < 2N + 1),
j—о
либо ?* (— Vk) = L (— Vh) (к = О, I, ..., N) и
П I '
g(x) = exP("х") I Im Vft I < inf (с, Re S1)),
3~0
то решение уравнения (9.1) гл. 2 с ядром /с (і) полностью совпадает с решением уравнения (9.1) гл. 2 с ядром Zch. (t).
Теорема 3.6. Пусть функция Llt. (?)/?
1) аналитична в комплексной плоскости ? = и + Iv,
2) регулярна в полосе IiH < с;
3) в полосе I у I ^c-S1 равномерно стремится к нулю при |и| -*• оо;
4) в полосе IУI Ce* не имеет нулей.
Тогда при у -*• оо решение (если оно существует) интегрального уравнения
fx> оо
со (s) Zcst (s — y)ds = j* [5 (s) + v (As — I)] Ar* (s + у — ds
O 2/X ' '
(0^г/<оо)
убывает не слабее, чем exp [— (и* — є2) у], где и* = inf (с, с*) , «і, е2 — положительные, сколь угодно малые числа, a v(x) — решение интегрального уравнения (9.1) гл. 2 с ядром A* (t) и правыми частями, описанными в теореме 3.5.
2. Рассмотрим теперь некоторые примеры приближений вида
(3.13). Допустим вначале, что для функции L (и) справедлива оценка (8.1) гл. 2. Тогда в силу условия (7.12) гл. 1 функцию L(u) можно представить в виде (при этом выполнено соотношение (3.14))
L (и) = th Au + H1 (и), L^ (и) = 1Ъ. Au, (3-17)
Подставляя (3.17) в (1.3) гл. 2 и используя интеграл (5.30) гл. 1,
§ З, ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ
137
получим следующее представление для ядра [9]:
Л (0 = —In thg +Tn1It), ft* (0 = —In thj? ,
OO
OO
(3.18)
О
На основании (8.1) гл. 2, а также регулярности функции ?(?) в полосе Iul < оо, |и| =SIc и теорем 1.14, 1.15 убедимся, что mt(t) как функция комплексного переменного w = t + їх регулярна в полосе |т| < inf (и, 2А), Ul < оо. Кроме того,
Таким образом, в согласии с изложенным выше первое слагаемое в выражении для k(t) (3.18) полностью отражает все основные свойства ядра интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 при всех t ^ [0, оо). Второе же слагаемое TnlIt) является сколь угодно гладкой функцией при t ^ [0, оо), экспоненциально убывает при UH о° и играет роль малой добавки. Отсюда следует, что если точно обратить интегральный оператор
то, по сути дела, будет как качественно, так и количественно точно выявлено поведение решения уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 при всех значениях параметра Ae(0, оо). На этой основе может быть развит приближенный метод решения указанного интегрального уравнения, одинаково эффективный при всех значениях A ^ (0, оо) (см. § 8).
Пусть теперь функция L(и) удовлетворяет условиям (7.12) гл. 1, а при и —*¦ оо имеет место формула (8.23) гл. 2. Тогда L(u) представима в вице
m1(i) = 0(e-v|i|) (Ul оо, V = inf [с, я/(24 +О)]).
і
(3.19)
-і
Легко видеть, что при этом будет выполнено равенство (3.16) при к —О ж соотношение (3.15). Подставляя (3,20) в (1.3) гл. 2 с учетом интеграла [5]
138 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где KJat)- функция Макдональда, будем иметь
k(t) =K0(tjA) + пі2(г), k*(t) = K0 (t/A),
ж ?"«'“> (3'21)
т2 (t) = -—cos ut du.
о
Относительно функции m2(t) (3.21) можно утверждать, что она экспоненциально убывает при Ul -*• °°, а в окрестности нуля ведет себя как t2 In Ul, т. е. m2(t)^Hi(—оо, оо) (а= 1-е). Этот факт следует из формулы (3.15), если принять во внимание значение интеграла [5]
