Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
[ЙГ-1(а)]' = (shacha— a)sh-2a, (2.12)
по третьей формуле (9.44) гл. 2 найдем Ъп = (п — V2)-1. Далее, на основании равенств (2.12), (9.28) гл. 2 и
< <«> = ^Г, г (у - Щ) [г (l - ?) Г Ь (‘ - f)~ Ч1 (т-1)].
Iim 1|з (х) [Г (ж)]-1 = (— 1)" ге!,
х-*—п
(2.13)
где ф (х)—пси-функция [5], в соответствии с (2.10) получим Cnh = (2А-1)!! (2ге-1) !![(2А-1) (2*-2ге-1) (2А-2)!! (2ге-2) M]-1.
(2.14)
Решение системы (2.11) при малых X для символа ядра (9.14) гл. 2 можно построить следующим образом. Пренебрегая в (2.11) второй суммой, нулевое приближение для Bn(X) найдем из системы
00
§ 2. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ
129
которая совпадает с (2.4) при v = 0. Первое приближение для Bn(X) будем искать из системы, получаемой из (2.11), если во второй сумме удержать только первый член,
!-!?«¦ +-L +-0. (2.16,
^Ут-™ Ут Ут + я У '
Разыскивая неизвестные B^ (X) в виде
В™ (X) = В™ + ё«е-2я/\ Sf = B^ (2.17)
и пренебрегая членами порядка е-4яА, получим на основании (2.15) и (2.16) относительно величин B^ систему “ gft) g(o)
" +^TT = 0' (2-18)
П=1
Ут~пп Ут + п
Второе приближение для Bn(X) будем искать из системы, которая следует из (2.11), если во второй сумме удержать два первых слагаемых,
-23ТД я(~) п\ е~ІЯ/Х
+ Vm+ Тт + Я + Ут + 2я 0'
Разыскивая неизвестные B(rp (X) в виде
(X) = і^0) + В(1)е~2яЯ + S?V4bA (2.20)
и пренебрегая членами порядка е-6яА и выше, получим на основании (2.15), (2.18) и (2.19) относительно величин Bjp систему
2L2) Щ0)
+ = 0- (2-21)
~ Ут~пп Ут+п Vm+2я Продолжая этот процесс, найдем, что
оо
S»(4=2l,V2Ji/l, (2.22)
і=о
причем неизвестные B11P находятся из систем уравнений вида
“ g«)
+ = (2.23)
п—1 1171
где .bltm = Ym1, a bim при і 3s 1 определяются следующим образом:
Vi W~j)
h. = У__2-------- (2.24)
9 В. м. Александров, Е. Б. Коваленко
130 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Решения же систем (2.23) с помощью матрицы коэффициентов
(2.14) можно представить в форме
OO
= 2 Cnhbih. (2.25)
h=l
3. Для общего случая символа ядра (9.43) гл. 2 решение системы (2.11) при малых к может быть произведено следующим образом. Обозначим
4- +Ib- ».<*>• (ад
АУт ^jT1 Ут + °п
Тогда согласно (2.23) и (2.25)
Bn (к) = 2 Cnftbft (к), (2.27)
k=i
где коэффициенты Cnk даются формулой (2.10) . С помощью легко доказываемого тождества
К+ (iyk) [K'1 (iYft)J' = [к+1 (- iyh)Y (2.28)
коэффициентам СпК можно придать более простую форму
Cnh = {[К+1 {-iyh)YK'+(-i6n) (Vh-Sn)]-1. (2.29)
Внося далее в (2.27) выражения (2.26) и (2.29), получим вместо сингулярной системы 1-го рода (2.11) эквивалентную ей бесконечную алгебраическую систему 2-го рода
оо
Bn (к) = B^ + 2 Dsn (Я) Bs (к),
S=1
= AK'+ (- ?6„) 2 [К-' (- iVft)]' yh(yk-8ny (2-30>
e~26sl% « 1
+ (- i8n) [*У (- iVft)]' (Уи + Ss) (Ys - Sn) ¦
Заметим теперь, что для интегрального уравнения (9.11) гл. 2 с ядром (1.3) гл. 2 и символом ядра К~1(а) в случае правой части g(x) = eiia может быть получена бесконечная алгебраическая система
^ B^ 1
+ К~Х (Sn + Щ = ° (ге= •'•), (2-31)
аналогичная (2.4). Решение системы (2.31) имеет вид
Bi» = {К+1 (ц) [К+1 (- IYa)]' (Ц - ^r1, (2.32)
§ 3. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ
131
аналогичный (2.5). Подставляя (2.32) в (2.31) и полагая ц равным нулю или — г'65, получим тождества
Va
(“ iVft)] Vh(Vk~ sn) *8Я
(2.33)
1 К+ (Ibs)
[я;1 (- iyk)]' (yh + Ss) (Vft - Sn) і (SeH-Sn)*
Теперь видно, что выражениям и Din(X) в системе (2.30)' можно придать более простую форму
B^ =--------7Т^----------, Dsn(I) =------ —.?)—. (2.34)
і8пУА К+(- i8n) і (6г + 6п)Я+(-і6п)
Можно показать, что бесконечная алгебраическая система (2.30), (2.34) является вполне регулярной при X < X0 (см. теорему 2.19) и квазивполне регулярной при всех X ^(0, °°). Для приближенного решения бесконечной системы (2.30) целесообразно использовать метод последовательных приближений. Тогда в нулевом приближении Bn (X) = J5n0), что после подстановки в
(2.1) дает, очевидно, главный член асимптотики решения интегрального уравнения (10.1) гл. 2 при малых X.
§ 3. Об аппроксимациях ядра интегрального уравнения (7.1) гл. 1.
Структура и свойства решения интегрального уравнения при любых значениях X. Устойчивость решения
Здесь дадим некоторое обоснование приближенных методов, изложенных в §§ 7—10 гл. 2 и в §§ 1, 2.
1. Заметим, что при фиксированном значении параметра X переменная f=(| — х)/Х в ядре k(t) интегрального уравнения
(7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 изменяется в пределах от — 2/Х до 2/Х. Отсюда следует, что если при построении приближенного решения уравнения (7.1) гл. 1 для достаточно больших X (пусть Х% <; X < <С оо) возникает необходимость в аппроксимировании ядра k(t), то оно должно быть хорошо аппроксимировано на конечном интервале изменения t, именно I 11 є [О, 2/А,*]. Если же мы зададимся целью получить приближенное решение уравнения (7.1)’ гл. 1 при достаточно малых X (пусть 0 < X < ?.*) или для любых А, то нужно хорошо аппроксимировать ядро k(t) уже при всех Ul Є [0, оо).
