Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Zo„(*) =2 IlClj(K)T2i(X)T2j(I)+ ... (1.21)
1=0 j—о
Многоточием заменены слагаемые, содержащие полиномы Чебышева с нечетными индексами. Соответствующая (1.6) урезанная система будет, как легко проверить, иметь вид
п-і Ґ 0 \
Xi = (IijXj + І і = 1,2, . . ., h . ..
J+1 M 22)
Xi = f2і (і = п + 1, п + 2, .. .).
Соотношение (1.5) также несколько меняет свою форму:
Tl
CO0 (In 2А +с00) = /о — 4 2 to^OJ- (1-23)
J=I
Описанное необычное урезание бесконечной системы (1.6) приводит к вопросу о сходимости метода редукции. Ответ на него дает следующая
126 гл. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Лемма 3.2. Пусть дана последовательность вполне регулярных бесконечных систем
OO
Xi = 2 + ъ\(1-24)
3—1
а также вполне регулярная бесконечная система
OO
Xi = 2 + Ь{. (1.25)
Пусть, далее, Iimayj= ay, Iimb^= Ьг (п->-оо). Тогда, если х^ есть решение системы (1.24), а х( — системы (1.25), то
= хг (п —>• оо).
Приведенная лемма является частным случаем теоремы III (гл. I, § 2, [6]).
Из леммы 3.2 следует, что изложенный выше метод редукции будет сходиться, т. е. решение Щ1'1 урезанной системы (1.22) будет при Tl -*¦ OO стремиться к решению системы (1.6), если Х>Х0. При X0 > X > О метод редукции, очевидно, будет также сходиться, есди конечная система
N
х% = 2 aIjXj + ьі (і ¦= I, 2, ..., N)
J=I
разрешима.
Практическое решение системы линейных алгебраических уравнений (1.22) при любом п производится достаточно просто благодаря тому, что ее коэффициенты образуют почти треугольную матрицу. После определения величин х(:> из (1.22) найдем <в0 из условия (1.23), а затем приближенное решение интегрального уравнения (8.5) гл. 2 по формулам (3.3), (6.13) гл. 2.
Как показывают конкретные расчеты, хорошая сходимость изложенного метода наблюдается при X 3* 1/2.
§ 2. Метод сведения интегрального уравнения (7.1) гл. 1 к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей коэффициентов.
Регуляризация матрицы при малых значениях к
1. Здесь для интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3), (9.43) гл. 2 изложим метод сведения к бесконечной алгебраической системе [1, 7], который, в отличие от метода § 1, приспособленного для больших X, будет эффективен при малых значениях параметра X. Изучим случай, когда / (х) = 1, имея в виду возможность применения результатов § 7 гл. 2.
В соответствии с леммой 2.9 рассмотрим вместо уравнения
(7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 интегральное уравнение (10.1) гл. 2 и бу-
§ 2. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ
127
дем искать его решение в форме (сравните с формулой (10.14) гл. 2)
оо
®(г/) = 12 вп(%)f&nV' (2.1)
п=1
Чтобы получить систему уравнений для определения коэффициентов Bn(K) в разложении (2.1), приведем сначала ряд вспомогательных результатов.
Прежде всего заметим, что из первой формулы (9.44) гл. 2
следует важное для дальнейшего тождество, если положить
а = гб„. Именно, запишем
°° h
v Утт =0. (2.2)
** V2 - 62
771=1 ' Ш 71
Рассмотрим теперь интегральное уравнение (9.11) гл. 2 с ядром (1.3), (9.44), (9.45) гл. 2 и правой частью g(x) = eiyx. Как было показано в § 9, решение его имеет вид
OO .
¦Ф (х) = К-1 (V) eivx + 2 B(nv)e пХ. (2.3)
П— 1
Подставляя указанное выражение для g(x), а также (2.3) и (9.45) гл. 2 в уравнение (9.11) гл. 2, вычисляя интегралы и замечая, что совокупность экспонент {е Vm } представляет собой
полную систему функций [8], получим относительно коэффициентов ВТ разложения (2.3) следующую систему уравнений:
B(V) 4
+ к ил Al",rZt = 0 (те = 1,2, • • • )• (2-4)
~хУт~К К (V) (уm+iv)
Система (2.4) представляет собой линейную бесконечную алгебраическую систему уравнений 1-го рода с сингулярной матрицей коэффициентов атп = (fm — б„)-1, ибо, как уже отмечалось,. Re Yn ~ Re б» ~ п при п-*- 0°. Решение (2.4) в соответствии с первой формулой (9.46) гл. 2 представимо в форме
B^ =. [К+ (V) К+ (- ів„) (V - гбп)]-1. (2.5)
Замечая, что
К_1 (IYm) = 0, Iirn = ІД-1 (iVm)]', (2-6)
v^iVm Чт
и щшагая в (2.4) V = будем иметь
00 R^ivs) 4
N-zSr+T^c"1 (ЫГ = О (А, та-1,2,...). (2.7)
Vw 0U 1 '
П=1
128 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где 6hm — символ Кронекера. Обозначая далее
Cnh = М[Я-^%)Г)_1ЯІІ1Ч (2.8)
получим бесконечную алгебраическую систему
°° С
2 v + hm = 0 (к,т = 1,2,...), (2.9)
П=1 п
решение которохі в соответствии с формулами (2.5) и (2.8) имеет вид
Cnk = ItК-1 (iyh)Y К+ (iyk) К+ (- І8п) (yk - 8п)}-\ (2.10)
Вернемся к интегральному уравнению (10.1) гл. 2. Подставим в него функции со (у) и k(t) в форме (2.1) и (9.45) гл. 2. Вычисляя затем интегралы, придем к следующей бесконечной алгебраической системе относительно коэффициентов Bn(X) разложения
(2.1):
V Вп(1) , I , V вп^\е 2бп1% п А о \ /О И\
^1Vm-K+Аут +ут + 8п -° (щ- 1,2,...).(2.11)
В процессе вывода системы (2.11), как, впрочем, и системы (2.4), существенно использовано тождество (2.2).
2. Для символа ядра (9.14) гл. 2 согласно (9.27) гл. 2 имеем = яге, = я (re — V2). Принимая во внимание, что
