Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
t-{y) = №-1), MiO = /(i-W, Ш=і№- (10.34);
Тогда главный член асимптотики решения при малых Я, помимо аддитивной формы (10.28), может быть также представлен в мультипликативной форме, аналогичной (10.26), т. е.
ф (X) = (Ц^) Х+ (Ц^) IT1 (-J). (10.35)
§ ІО. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ X»
119
4. Изложим еще один способ [4] построения главного члена асимптотики решения уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) при малых X.
Пусть f(x)'e=Hi(— I, 1) (0<а«?1) и, кроме того, f(x) —
четная и строго монотонная при 0 < I ж I =? 1 функция. Если f(x) не строго монотонна, то всегда ее можно представить в виде суммы двух строго монотонных функций Z1 (х) и /2 (х), а затем искать решение исходного интегрального уравнения в виде суммы двух решений для функций fi(x) И fi(x).
Перейдем в уравнении (7.1) гл. 1 к новым переменным:
* = [/(і)-/(1)№Лі)]-\ у = (Ю.36)
Обратные замены асимптотически при малых X единственным образом представимы в виде
III = I-Ks + О (К2), Ixl = I -Ky+ 0(%2). (10.37)
С учетом (10.37) будем иметь
YA YA
J т|> (s) к + О (l)j ds + J (s) к (s — у + О (A,)) ds =
о о
= (я/Щ (I) — W (I)] (0<у<тА), XlO-38)
ТГ = [/(1)-/(0)][/'(1)]-\ Ф(*) = ф(6).
Если вспомнить, что на бесконечности ядро к (t) экспоненциально убывает согласно (9.45), и устремить в левой части (10.38) параметр X к нулю, то определение главного члена асимптотики решения уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) при малых X сведется к решению интегрального уравнения Винера — Хопфа:
00
1
т|> (S) * (s-у)* =-Jr/fl) -Xyf(I)] (0<у<оо). (10.39)
Представляя функцию г|э (у) в виде
ty(y)=X-lf(i)y>+(y)-f'(i)y>-(y), (10.40)
где і|)+(у) и г|)-(у) удовлетворяют интегральному уравнению
(10.39) с правыми частями я и пу соответственно, и возвращаясь в (10.40) к старым переменным согласно (10.36), получим выражение для главного члена асимптотики при малых X:
Гf (I)-Z(Z)J _/'(!) \t (!)-7(*)'
ф(*) = T /(!Нч
If (1)
(10.41)
Xf (1)
В заключение отметим, что после построения полной асимптотики (10.20) решения при малых X интегрального уравнения
(7.1) гл. 1, (1.3) или ее главного члена в той пли иной форме ((10.28), (10.35) и (10.41)) без труда можно определить и интегральные характеристики решения N0 и Ni.
ГЛАВА З
МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ОСНОВНОГО ТИПА
К СИСТЕМАМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод ортогональных многочленов в случае больших значений к
В этом параграфе изучим вопрос о сведении при больших К интегрального уравнения (8.5) гл. 2 к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений [1—3]. С учетом теоремы 2.12 рассмотрим лишь четный случай.
Будем предполагать, что выполнены условия теоремы 2.13, причем V2 < ос «Si и, следовательно, V2 < ¦у < 1. Представим функцию I0 (t) вида (8.3) гл. 2 в форме двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода. С учетом четности функции I0 (t) по t этот ряд будет иметь вид
Функции f(x) и со (ж)', входящие в формулы (8.5), (3.3) гл. 2, также разложим в ряды (6.13), (6.14) гл. 2 по четным полиномам Чебышева. В силу указанных в лемме 2.5 и теореме 2.13 (при а>72) свойств функций l0(t), f(x) и со (а:) ряды
(1.1), (6.13) и (6.14) гл. 2 сходятся равномерно к I0 (t) по совокупности переменных х, ^ є [—I, 1] при любых значениях параметра А,є(0, оо); к f(x) и w(x) при всех х <= [— I, 1] [4]. Покажем это, например, для функции со (х). Представим коэффициенты со2? в (6.13) гл. 2 в форме
ЧгУ = 2 2 (*)т* (? + т* w Тп+г (х) т2і+1 (і)].
(1.1)
Я
о
§ 1. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
121
или, после интегрирования по частям,
я
P с*
ю2? = 4^ ] (cos ф) Tcos (2? — 1) Ф — cos (2? + 1) ф] <2ф,
О
Замечая, что в соответствии с теоремой 2.13 функция со' (х) может иметь вид
-¦ w - - “¦ («¦ ¦<¦>.
где г|)(а:) и о|)*(ф) есть функции ограниченного изменения (см. § 3 гл. 1), на основании теоремы 1.13 найдем
Ico2fcI ~ к~^ (к-*- оо).
Тогда бесконечный ряд 2|мгь| сходится и, следовательно, ряд
(6.13) гл. 2 сходится равномерно при всех х є [—1, 1].
Воспользовавшись известным свойством ортогональности полиномов Чебышева (6.4) гл. 2, получим для коэффициентов Cij(K) ряда (1.1) выражения
* (Ц _ U Л=?)У*>?й.<в_*<. (1.2)
“ -, L1 1 ' > Vb-Ab-D
Выражения для коэффициентов Гц(Х) в дальнейшем не понадобятся. Подставляя теперь в (1.2) функцию l0(t) вида (8.3) гл. 2 л используя интеграл [5] і
С T0. (х) cos (их)
J ’dx = TC (-Iyj2i (и),
найдем другую формулу для Cij (X):
-OO
du,
OO
Cii (X) = (- 1)і+%ф2І j [L{u)u~i] J2i (|) Jij (-?
(1.3)
du
(і + 7 > 0),
где Jj(x)—функции Бесселя.
Для получения бесконечной алгебраической' системы подста-вии в интегральное уравнение (8.5) гл. 2 функции ф(ж), f(x), l0(t) в виде (3.3), (6.13), (6.14) гл. 2, (1.1) и вычислим интегралы по формулам (6.4), (6.11) гл. 2. В итоге придем к соотношению, в левой и правой частях которого стоят ряды по
122 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
четным полиномам Чебышева первого рода. Приравнивая коэффициенты обеих частей при многочленах одинакового номера, будем иметь
