Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
2. Итак, решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1 с ядром (1.3) в классе Lp(—I, 1) (1</><2) при малых % может
быть эффективно построено. Изучим структуру указанного решения [16].
Теорема 2.20. Решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) при % < K0 и f(x)= 1 имеет вид
116
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
причем COn (у) последовательно определяются из уравнений
OO OO
J Wn (s) k(s — у) ds = e‘6l/X J COn-J (s) к (у + s — ) ds (10.21)
О 2Д
(п = О, 1, 0<у<оо), CO_j(y) = e (ЛЯ)"1.
При у-»¦ О функции со „(у) (п = О, 1, ...) имеют особенность вида jT1/2; при у убывают как ехр (-S1Jf) ', ПРИ Я О и фиксированном у ведут себя как Ar1. Ряд (10.20), умноженный на УЇ — Xz, равномерно сходится по х ^ [—1, 1].
Для доказательства проследим по этапам процесс решения интегрального уравнения (10.1) методом последовательных приближений. Нулевое приближение CO0 (s), очевидно, нужно искать из уравнения
OO OO
Jco0 (s)k(s — y)ds = -^ J к [у + s—|-)ds (0<у<оо),; (10.22)
О 2/Х
ибо при малых Я первое слагаемое правой части (10.1) пренебрежимо мало по сравнению со вторым. В этом легко убедиться, воспользовавшись (9.45) и (10.14). Первое приближение Co1 (у) должно быть определено из уравнения
OO OO
Jco* (s) к (s — у) ds = J |ю0 (s) + і k[y + s— (0<у<оо).
О 2Д
(10.23)
Нетрудно прийти к выводу, что CO* (у) имеет вид CO* (у) =
_
= coO (у) + coI {у) е ' 1 » где COi (у) в силу (10.22) и (10.23) удовлетворяет уравнению (10.21) при п = 1. Аналогичным образом, разыскивая второе приближение со2 (у) в форме со2 (у) = Co1 (у) +
-26./X
+ со2 (у) е 1 , убедимся, что Co2 (у) удовлетворяет уравнению
(10.21) при п = 2 и т. д.
Остальные положения теоремы следуют из формул (10.2),
(10.9), (10.14), а также из полученных выше результатов и доказанных теорем.
Итак, построение полной асимптотики решения рассматриваемого нами интегрального уравнения при малых Я сведено к последовательному решению интегральных уравнений Винера— Хопфа (10.21) с однотипными правыми частями. Практически, как показывают примеры решения конкретных задач (см. § lO гл. 3 и § 1 гл. 5), в формуле (10.20) оказывается достаточным удержать лишь член при п = 0, пренебрегая всеми
§ 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ U
117
остальными. При этом мы получим главный (нулевой) член асимптотики решения при малых X, который удобно представить в виде [4]
-рw-X(1Tf)+*(lF)-л (I1Kf*' <10-24>
Здесь функция %(у) = (д о (у) +(AX) ~1 находится из интегрального уравнения Винера — Хопфа
OO
j" %(s) к (s — у) ds = яАГ1 (0^у<оо), (10.25)
о
в чем нетрудно убедиться, если к интегральному уравнению
(10.22) для со „(у) прибавить тождество
оо оо
^k(s-y)ds = ^-± Jfc (у +
О 2Д
которое следует из того факта, что if> (х)= (.AA,) "1 есть решение уравнения (9.1) при g(x) = А,-1.
Заметим, что иногда удобно в качестве главного члена асимптотики решения интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) при
малых % и f(x) = 1 использовать выражение [4]
Ф* (X) = AX1 (1±-ж) х (Ц-ж), (10.26)
ибо разница между (10.24) и (10.26) имеет при малых X порядок ехр(—2біД). Действительно,
в силу свойств функции со о (у)’, указанных в теореме 2.20.
3. Когда в правой части интегрального уравнения (7.1) гл. 1,
(1.3) стоит произвольная четная функция f(x) из класса Ci (—I, 1), главный член асимптотики его решения при малых X может быть получен с помощью формулы (7.48) . В случае, когда f(x) — произвольная нечетная функция из класса C1 (—I, 1), для построения указанного решения следует воспользоваться теоремой 2.12. Кроме того, нетрудно показать, что если / (х) е єЯ*(—I, 1) (0 < a =^l), то главный член асимптотики ре-
шения при малых X может быть представлен в виде, аналогичном (10.24), а именно
ф(*) = х- (Чг1) + ^+(Чг^)_г;(т) (Ia=K1). (10-28)
118
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
где функции 1-{у), X+(у) и V(у) определяются из интегральных уравнений
X-(s) k(s — y)ds = Yf-(у) (0<У<°°),
X+(s)k(s —y)ds = jf+(y) (0 < у <оо), (10.29)
V (s) k(s — y)ds = y fo ІУ) (— оо С у С оо).
Здесь предполагается, что fe (у) є= #?(0, R), /0 (у) єе //“(— R, R) (R<Z оо), а при у -*¦ °° функции /т(у) и при у->±оо функция fo(y) возрастают не быстрее, чем степенным образом. Также имеет место равенство
и + U (ст1)- fo(f)=f№ (I * I < 1J- ааз°)
Уравнения (10.29) решаются методами, изложенными в § 9.
Очевидно, что функции f-(y), /+(у), M^) могут быть выбраны неоднозначным образом. Однако получаемые при этом приближенные решения (10.28) будут при малых % асимптотически эквивалентны. Если функция f(x) —четная, то это обстоятельство целесообразно учесть так:
f-(y) = U(y), fo(y)=fo(—y); (10.31)
если же функция f(x) — нечетная, то — так:
f-(y)=—f+(y), fo(y) = ~fo(-y). (10.32)
Например, для функций f(x) = \A1 ch {За: + ц2 и f(x) = ja3 sh ?>х + + HiX соответственно выберем
/- (у) = /+ (у) = Ye Шу fo (У) = -
/- {у) = - /+ (у) = — /0 (у) = - HiXy.
(10.33)
Во многих случаях можно положить