Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
¦М-
IelvxF (- V21 - fJtv; V.; I - е~ях) (0 < Im V < я/2),. Хіе“ях^(і, V2 + V2; I — е~яя) (Im я/2);
F(a, Р; 1YJ ж) —гипергеометрическая функция [11]. Отсюда видим, что предположения (9.18) и (9.19) обоснованы.
Полагая в (9.37) v = 0, найдем
^(ж) = (1-е-")-,/а (ж>0). (9.38)
3. Как было указано выше, ключевым моментом метода Винера — Хопфа является факторизация (9.23) функции К(а). Однако, если в общем случае ядра k(t) использовать интегральную формулу (9.26) из теоремы 2.17, то практическое нахождение численных решений часто оказывается весьма затруднительным. Поэтому на практике пользуются методом приближенной .факторизации Койтера [19].
Идея этого метода состоит в следующем. Функция К(а) заменяется приближенно равной ей функцией К* (а) (см. § 3 гл. 3; численные значения этих функций на некоторой прямой
HO
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
т = с, —< а < °°, где т- < с < т+ приближенно равны), которая легко факторизуется. Важно отметить, что нет необходимости в том, чтобы функции К (а) и Kjt. (а) вели себя одинаковым образом в комплексной плоскости а = а + г'т вне линии т = с,
— оо < 0 < оо.
Рассмотрим поучительный в этом смысле пример Койтера [19], который сравнивал решения задач, где приходилось факторизовать две следующие функции:
К (a) = аТ1 th а, К* (а) = (1 + а2)_1/\ (9.39)
Факторизация первой функции (9.39) имеет вид (9.28), а второй в полосе |т| < 1, —< о < °° — вид
К*+ (a) = (a + i)~V% Kl (а) = (а— І)“Ч
Функции К (а) и К* (а) приближенно равны в узкой полосе, содержащей вещественную ось. При а -*¦ 0 обе стремятся к единице, а при а -*¦ °° имеют порядок Ial-1. Сравнение численных значений показывает, что на вещественной оси отличие между ними составляет не более 9%. Однако их поведение вне вещественной оси совершенно различно. Функция К (а) имеет бесконечное число полюсов и нулей, в' то время как функция Kt (а) их не имеет, но имеет две точки ветвления: a = ±і.
Найдем решение исходного уравнения (9.11) с символом ядра Kii. (а) и правой частью g(x) = 1. Будем иметь
X
(х) = ¦ е,— + erf (VX) (х > 0), erf (X) = —f=- Гe~t2dt. (9.40)
V пх 1/я J
о
Сравнивая формулы (9.38) и (9.40), находим, что ty(x) и ¦ф* (ж) при х -*¦ 0 стремятся к (яж)-1/2, а при х -*¦ °° стремятся к единице. Различие между их численными значениями при любом х не превосходит 3%.
Аналогично, функции е(х)= axc,sm(enxn), е* (х) =
= I — erf ( /—х) (х<0) при х ->¦ — 0 асимптотически равны
1 — 2У—х я~1/2, но при х -*¦ —°° е(х)~ 2я-1еях/2, е* (х) ~
~(—пх)~ !гех. В интервале — 0,5 < х < 0 численные значения е(х) и е%(х) расходятся не более чем на 5%, но при х -*¦ —1°° расхождение быстро увеличивается (хотя е(х) и е* (х) малы по величине).
Таким образом, из сказанного можно сделать вывод, что если К (а) и Kii. (а) приближенно равны, то окончательные решения будут также приближенно равны. Более строгое доказательство этого утверждения приведено в § 3 гл. 3.
4. В заключение приведем решения интегрального уравнения
(9.11) с правой частью g(x)=enx, полученные методом Винера— Хопфа для некоторых случаев символа ядра К (а).
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
Ш
Пусть, например,
V « 2 + hl
К (а) = - -.д. ч (9.41)
где H1 и hz — вещественные положительные постоянные. Тогда, если V Ф ihu ihi, то
Ф (х) = -,/ту . - IT=-+ e'VXerf У(hi + iy)x (ж>°)*
у г K^(V) у кх aVv/ е (х) = егХХ[1 — erf V(І V — ^1) х\ +
+ X- Л—2 е*2*erf У (Il2 — H1) X (х < 0),
у ftj — iv
/(Г+ (а) = У a + Hi1 (а + ih^~l.
Допустим теперь, что К(а)— указанная ранее мероморфная функция. С одной стороны, она может быть представлена в виде бесконечного произведения [2]
оо / 2 \ / 2 \_1
к (a) =^n (1 + J (1 + (Yn = - *&,), (9.43)
которое равномерно по а сходится в области Пе, где П„ есть вся плоскость а с исключенными е-окрестностями полюсов ?„. С другой стороны, К(а) можно представить в виде суммы главных частей [2]
У, '!"-у, HmJT(Ct)-Л--5-2- .
' ",S «2 + Й «->. "St- (9.44)
ьт = пі {[ЛГ-1 (Sm)],]~1, Re6m~7ra-1 (те-»Оо).
Разложение (9.44) равномерно по а сходится к Х(сс) в области Ш. Подставляя (9.44) в (1.3) и вычисляя интегралы, получим для ядра k(t) уравнения (9.11) выражение
OO
k (t) = 2 Ъпе~ЩУт. (9.45)
?п=х
Ряд (9.45) равномерно сходится при всех 0<8<UI<00.
Для описанного символа ядра К (а) при условии, что v?*zn, Sn, .имеем
TYl
112
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
е(х)
*+<v> (v + ^I^c-Cn)]'
OO
к+ (а) = П (а + Zn) (а + InV1.
(ж<0), (9.46)
Можно показать, что функция вида (9.46) при х-*-0 имеет особенность х~ъ, а функция е(х) вида (9.46) при х^—0 ведет себя как V— х. При х>е>0 и ряды Дирихле (9.46) рав-
номерно по х сходятся [20].
§ 10. Асимптотический метод «малых Я»
Ї. Принимая во внимание теорему 2.11, ограничимся сначала рассмотрением случая /(я) — 1.
Лемма 2.9. Если функция со (у) <= L (O1 °°)ПІР(0, 2А) (!</>< 2, 0 < А, < °°) есть решение интегрального уравнения
оо оо
J со (s)k(s — y)ds = J
