Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Я(а)ЧМа)=^ + ?_(а). (9.17)
Установим область, в которой справедливо выражение (9.17).
1) Первый член в правой части равенства (9.17) регулярен при т > -Im V.
2) Функция (9.14) К (a)= arl th а регулярна в полосе Ilm а| < я/2.
3) Допустим, что 1)3(1) интегрируема на любом конечном интервале и, кроме того,
i|)(s) = 0(е(я/2 v^s) (я/2<V3<оо, ?-»оо), (9.18)
ят = 0(Г"4) (OCV4Cl1 6— О). (9.19)
Тогда согласно леммам 2.7 и 2.8 найдем, что функция 1F+ (а)'
регулярна при т > я/2 — V3 и
4f+ (a) = 1 (|a|-»-oo). (9.20)
4) Рассмотрим второй член в правой части (9.17). Соотношения (9.13), (9.14) в совокупности с (5.30) гл. 1 и леммой 2.7 позволяют дать для функции е (х) следующую оценку:
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
107
В силу (9.18), (9.19) несобственный интеграл (9.21) сходится. На основании (9.21) заключаем, что Е-(а) регулярна в области т < я/2.
Резюмируя 1)—4), приходим к выводу, что соотношение
(9.17) при сделанных относительно функции If(I) предположениях (9.18), (9.19) выполняется в полосе т- < т < т+, где
т+= я/2, т-= inf (-Im V, —я/2, я/2 — V3). (9.22)
Основными моментами решения уравнения (9.17) являются факторизация функции К (а) в полосе (9.22), т. е. представление ее в виде произведения
К (а) = К-(\а)К+(а),
где К+(а) регулярна при т>т_, а К-(а,) -ложение некоторой функции на сумму двух
/(а) =/+(а)+ /-(а),
(9.23)
при т < т+, и раз-
(9.24)
регулярных соответственно в полуплоскостях T > T- И T < T+.
Теорема 2.16 [19]. Пусть /(а)—аналитическая функция а = о + іт, регулярная в полосе т_ < т < т+ и такая, что
-Vk
I / (<т + ix) I < M4J а I , V5 > 0 при Ial-^ooj причем это нера-венство выполняется равномерно для всех т в полосе T- + є < < т < т+— є (є>0). Тогда справедливо соотношение (9.24), причем
OO+ ia
1 Г / (0 dt,
U («) = '
/- (а) =
2 пі
1
2яі
Г / (Q dt J Б-и
+ia + ib
Г / О dl J С-и
—oo+ia оо+ib
(т_<а<т<т+),
(т_<т< &<т+).
(9.25)
— оо+ib
Теорема 2.17 [19]. Если lnisT(a) удовлетворяет условиям теоремы 2.16 и К(a)->-1 при о ±оо в полосе т-< т < т+, то существует представление (9.23), где К+(а) и К-(а) являются регулярными, ограниченными и не имеющими нулей при т > т- и т < т+ соответственно. При этом
К+ (а) = ехр К- (а) = ехр
оо+ia
Д і 1Jlirto* 2ju J ? — а
L. — oo+ia
oo + ib
1 ґ* — — I In к (Q
2 пі J t,~ a
(т_ <а<т<т+),
(т_<т<&<т_).
(9.26)
— oo + ib
108
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Проведем факторизацию функции К (а) вида (9.14). Для этого представим ее в форме [11]
th а _ Г (0,5 — гя~]к) Г (0,5 -f- г'я-1**) ,q
а яГ (1 — гя-1а) Г, (і + ?я_1а)
Известно [2], что гамма-функция Г (а) является функцией, регулярной во всей комплексной плоскости а = о + гт, кроме точек а ~—п (п = 0, 1, 2, ...), где она имеет простые полюсы. Отсюда с учетом (9.27) в полосе IxI < я/2 имеем
К+ (а) = 4= Г (°;5 ~ !Л~'І , К- (сс) = -4- Г (?’5 + -S1-T-- (9-28)
"l/я Г(1 — in а) ~[/п Г (1 + In а)
Подставляя теперь (9.23) в (9.17), приходим к уравнению
К+ (а) К_ (а) ?+ (а) = -I- + E- (а) (т_ < т < т+).
Так как К-(а) отлична от нуля в полосе (9.22), то можно разделить обе части последнего уравнения на К-(а). В результате получим
К+ (а) ?+ (а) = ^ KZ1 (а) + -§=|? (т_ < т < т+). (9.29)
Воспользуемся теперь теоремой 2.16 и разложим первое слагаемое в (9.29) на сумму двух функций вида (9.24). Будем иметь
/+(«) = /-W = ^[Я=1 И-*;>)]. (9.30)
Внося равенство (9.24) в (9.29), запишем К+ (а) ?+ (а) - /+ (а) = /_ (a) + E- (а) KZ1 (а) (т_ < т < т+).
(9.31)
Функция в правой части уравнения (9.31) регулярна в нижней полуплоскости т < т+, а функция в левой части (9.31) регулярна в верхней полуплоскости т > T-. Обе полуплоскости перекрываются в полосе т- < т < т+. Отсюда в силу обобщенной теоремы Лиувилля [2, 3]
Q (a) = K1 (a) Y+ (а) — /+ (а) = /_ (a) + E- (а) KZ1(O) (9.32)
при всех а, где Q(а)—целая функция, в частном случае — полином. Чтобы определить степень этого полинома, необходимо 8нать поведение всех функций, входящих в (9.32), при Ial -> °°. Из (9.28) видио, что при a ->¦ °°
К+(а)=К-(а)=0(а-1П). (9.33)
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
'109
Соотношения (9.30) дают
U(a)= 0(а~1), /-(а) = 0(а~1/2)', (а--)', (9.34);
а для функции Е~(а) с учетом леммы 2.8 справедлива оценка
Е-(а)=0( а-1) (а-*-°°), (9.35)]
поскольку E- (а) — преобразование Фурье от ограниченной в нуле функции.
Теперь на основаниии (9.20), (9.33) — (9.35)’ заключаем, что (а)= 0 во всей комплексной плоскости. Таким образом, из
(9.32) найдем
ip I \ — ^ — Vnl___________Г (і — ія~хк)___
+ К_|_ (а) К |_ (v) р (ot5 — jjt _1а) (а + v) 1
откуда при помощи обратного преобразования Фурье получим
OO+{с
ip (X) = ±. J w+(a)e~iaxda =
-oo+jc
OO + ІС
Г Г (l іл 1Ci) е %axdа , \ /п
------/_----- \ ----7------rr-v--------- (с>Т_ . (9.36)
2 "і/яАГ, (v) J , Г (0,5 — і л 1а) (а -f- v)
"г — оо -|-
Интеграл (9.36) легко может быть вычислен методами теории вычетов, а именно
