Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 9. Интегральные уравнения типа свертки на бесконечном и полубесконечном интервалах.
Метод Винера — Хопфа
Ї. Рассмотрим интегральное уравнение
OO
j і)з (I) k{\ — x)dl = ng (х) (— оо < х < оо). (9.1)
— 00
Вид и свойства ядра k(t) даются формулами (1.3), (8.2).
Как известно [18], интегральные уравнения типа (9.1) легко решаются применением теоремы о свертках для интегрального преобразования Фурье. Именно, умножим обе части (9.1) на (2n)~leia*dx и проинтегрируем от — °° до +°°. Получим
OO OO OO
-Jp J eiaxdx J (!) к (I — х) dl = -j [ g(x)elCiXdx. (9.2)
— OO —OO —OO
Сделаем в формуле (9.2) замену переменного x = s + |, введем обозначение
OO
G (a) = J g (х) eiaxdx
— OO
и поменяем порядок интегрирования. В результате запишем
OO OO
j ^(1)е1аЩ j k(s)eiasds= j G (а). (9.3)
— 00 — OO
Учитывая теперь представление (1.3) ядра к (t) и формулу обращения преобразования Фурье (4.7) гл. 1, из (9.3) найдем
оо
Y (а) К (а) = G'(а), Y (а)= J ^(l)eialdl,
— оо
откуда согласно (4.7) гл. 1 будем иметь
OO OO
Ъ(х) = ± j g(i)m{l-x)di, OT(i) = Jg^cta. (9.4)
104
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Допустим теперь, что в плоскости комплексного переменного а = о+гт функция К (а) является, кроме всего прочего, еще и мероморфной функцией (отношением двух целых функций экспоненциального типа равного порядка), имеющей лишь простые нули и полюсы. Для задач типа а) функция К(а) также является четной и действительной на действительной оси, K(O) = = A, К(а)~ Ial-1 на правильной системе [2] контуров Cn при Tl оо. Еще допустим, что нули Zn и полюсы функции К (а), лежащие в верхней полуплоскости, таковы, что Im zn ~ Im gn ~ п при п-*- оо. Тогда в соответствии с формулами п. 71 [2] для мероморфной функции К~1(а) получим следующее равномерно сходящееся при всех 0 < о < R < оо разложение:
оо я
I 2 у__________________SjO
*<°) а »?1а ,.(а2+ а?)’
Sj = пі {[К (Zj)] } , Sj = izj.
(9.5)
Теперь при помощи (9.5) и с учетом интеграла (2.40) получим для резольвенты т (t) равномерно и абсолютно сходящееся при
О < є =? Ul < оо разложение
т
На основании (9.6) и соотношения (2.41) можно заключить, что решение (9.4) интегрального уравнения (9.1) будет иметь место, если функция g(x) представима интегралом Фурье и при \х\ оо возрастает не сильнее, чем ехр [Ы (Re 8, — є)] (є>0).
Пусть, например, g(x)=eivx, причем |Imv|<Re6i. Из (9.4)' имеем в согласии с (2.40), (2.41)
OOl OO
¦м-? I I
— 00 —00
OO
С \ . elvx
= J TJa) S (a — V) е da = T{v)‘ (9,7)
— 00
Отсюда, как частный случай, легко получить решения для
g (x)=x2h:
. 4 Л ^ Г> 1V/ Ask-П (2к)! 2„ /Q о\
'?(*) ( I) K(v)v=0 ) (2 п)\ k~n ( )
n=0
и для g(x) = xzh+l:
n=0
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
105
причем постоянные Ds являются коэффициентами следующего ряда:
оо
Ar) = T 2Po = I), (9.10)
j=o
который, очевидно, равномерно сходится при Ial < IziI.
2. Рассмотрим- теперь интегральное уравнение Винера — Хопфа
OO
J 1]з (?) к (s — х) di = ng (х) (00<оо). (9.11)
О
Его часто записывают в форме, сходной с (9.1) ,
OO
j x)dl = ng+(х) + пе-(х) (—оо <?< оо), (9.12)
— OO
1|з+ (х) = 0,5 (I + sgn х) (х), g+ (х) = 0,5 (I + sgn х) g (х),
OO
1 Г (9.13)
е_ (х) = 0,5 (I — sgn х) е (х), е (х) = — J і|з (I) к (I — х) d\.
О
В результате решения уравнения (9.12) должны быть найдены как функция (ж), так и е-(х).
С теорией и методами решения интегральных уравнений типа (9.11)—(9.13) в общем случае можно познакомиться по монографиям [18, 19]. Здесь мы изложим эту теорию на примере
одного важного частного случая, именно, когда g(x)= eivx, ядро
k(t) в (9.11) представимо в форме (1.3), а символ ядра имеет вид
К (a) = a-1 th а. (9.14)
Приведем сначала две леммы, являющиеся по существу следствиями теорем 1.14 и 1.13 соответственно.
Лемма 2.7. Если функция переменной a = a + ix определена интегралом
OO
F+ (a) = J / (*) etaxdx,
о
причем If (х) I < M1 ехр(т-ж) при X -*¦ 0°, то она регулярна в верхней полуплоскости т>т_. Аналогично, если функция переменной а = о + іт определена интегралом
о
F_(a)= j f(x)elaxda
106
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
и \f(x) \ < Mz exp(х+х) при X — оо, то она регулярна в нижней полуплоскости T < т+.
Лемма 2.8. Если /(х) ~х 1 (х-*-+0), то F+(а)~а 1 при Iccl -> оо в полуплоскости т > T-. Аналогично, если / (х) ~
~ х 2 (хг-^>— 0), то F- (а) ~ а 2 при Ial -> оо в полупло-
скости т < т+.
Умножим теперь обе части интегрального уравнения (9.12) —
(9.14) на (2n)~ieiaxdx и проинтегрируем в пределах от —оо до о°. Будем иметь
оо оо оо Qj
J eiaxdx Ji]) (I) к (I—x) db, = у JelX(v+a)da: + у J e_ (x) eiaxdx,
-OO O O “00
(9.15)
Совершим в левой части равенства (9.15) замену переменного х — | = у, dx = dy и введем обозначения
О OO
j е_ (х) eiaxdx = E- (а), 2 j ф (?) eialdl = ?+ (a). (9.16)
— 00 о
Тогда соотношение (9.15) можно переписать в форме
