Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 32

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 105 >> Следующая


L(u) = I + S спи-п + 0{и~2JY_1) («-*• оо). (8.33)

П—1

7*
100

ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Тогда при помощи интегралов (1.20)' и им подобных будем иметь A(J) = In UUi(J)+ UIZ2(J)+Z»(J), (8-34)

N

hW-'Ednt^ + Oit^), d

і= О

10

I) d20 r0, cZ30 — T1. (8.35)

Пусть радиусы сходимости рядов (8.35) равны р. Тогда все дальнейшие рассуждения, основанные на формулах (8.34), (8.35), будут по крайней мере иметь смысл при X > 2р~‘.

Заметим, что в согласии с (8.34), (8.35)

Z0(J) = In Ul[I + Z1(J)] + UU2(J)+ Js(O'- (8.36)

Как следует из (8.36), Z0 (J) ~ 6 (J) при J0 (6(J)— дельтафункция Дирака); тем не менее можно показать, что сохраняет силу теорема 2.13 при 7 = inf (а, (р — 1)/р) и лемма 2.6; может быть доказана теорема, аналогичная теореме 2.15.

Асимптотическое решение для больших % интегрального уравнения (8.7) при Z0(J) вида (8.36) будем, как и выше, искать в форме (3.3), где [17]

2JV [я/2]

Cl» (а:) = 2 2 Wnj (X)XTn In^X + 0(X~2N~11пЛЯ). (8.37)

TJ==O 3=0

Для последовательного определения функций (оni(x) получается бесконечная система соотношений типа (8.29):

N1

1

-I-

'—1

г

1-Х

dl

-I -J

«00 W Sgn (t—l)

—I I

Vi-

CO,

20

(*) = --Sr I -?=?я J [(t-l)(2dllln\t-l\ + 2d31 +

+ (Z11) M00 (t) + cZ20 sgn (J 5) W1Q (01

VT

«wo



і

Л /і

cZJ,

%0 W= -jr j* 1^1L f dS j {(І - і) [2cZH InU- El+d,t+2cZSI] (O10(J) +

-I -I

dt

+ (Z20 sgn (J - i)(Oi0(J) + 3tZ2i(f- D2Sgn (J - I) Woo (J)}
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ Ъ>

101

1 -___________ 1

“SI И = - J -T=T" 2du(i - Ю CO10 (t) +

-I -1

+ rf20sgn (t — s) M2I (01 л-/=~ и т. д. (8.38)

Vi — г

Ограничимся, далее, рассмотрением частного случая f(x) = = / = const. Вычисляя последовательно квадратуры в соотношениях (8.38) и используя интегралы (2.21), (8.30), найдем

W00 (х) = N0л-1, W10 (ж) = Stn-Zdi0N0Sl (х),

w20 (х) = n_1iV0 {[du (1,5 — In 2) + d31] (I — 2ж2) +

+ 32я-««& [5а (ж) - S0]),

W21 (ж) = — я~ 1AVfu (I — 2х2), W31 (ж) = — 2n~aN0dlidi0Si (х),

W30 (х) = iV0n_3[-| dnd20S3 (ж) + [6d21 (I + 2х2) —

— 128л (ж) + [9d21 + 2d20 (du (1)5 — In 2) + d31)] Si (x) +

+ fd21 +64п-«ад (Z) j. (8.39)

Здесь введены обозначения

I OO

, С Iarcsinldl ,, ч « V U*j(x) -

S1 (х) - (g2 _ ж2) - (I - 2* ) + 2 (I + -

8у yT«iifL

=-8Zaf-if j=i

52 (ж) = (I — ж2) 2 (4/37)2’ = 2 (47а _ !)з = 0,1508,

^ U2i+2 <*>

53 (X) = - (1 - 2х2) + 144 (1 - х2) 2 (2у + 1}* (2j + з)2 (2у + 5)2 ’

J=O

(*) = J + (1-2*2) +X(I-X2)Inl^,

2

-I O^

S9 (ОЛ

VT=?'

Vifrz(X) = — 2 (1—2з?) v2j (ж) + 2 ^ ^ v2j-2 (ж),

1-х

V0 (х) = О, V2 (ж) = 4 + 2ж In yqrj- (8-40)
102

ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Таким образом, для случая f{x) = f получено асимптотическое решение вида (3.3), (8.37) с точностью до членов 0(к~1). Ряды, входящие в соотношения (8.40), могут быть затабулиро-ваны по х. Как показали расчеты с погрешностью, не превосходящей 0,7%, функция Sz(x) при всех 1] может быть

заменена следующим выражением:

S2 (х) es, (0,4356 + 0,1321а:2 + 0,2494жIn [(1 - х)/(1 + ж)]} (1 - ж2).

(8.41)

Следует отметить, что, аппроксимируя таким образом функцию Sz(x), мы не меняем характера ее структуры, ибо, как нетрудно видеть, функция S2(х) имеет ВИД {/і(ж)+ /2(ж)1п [(1 — х)/ /(1 + ж)]}(1 -X2), где /і(гс) = Z1 (—ж) и f2(x) = -/21-х) — непрерывные при X <= [—I, 1] функции. Используя формулу (8.41), получим для S5 (х) следующее приближенное выражение:

St (х) as 0,3547 - 0,8463 • IOz2 + 0,3442ж4 +

+ ж (I - X2)In [(1 - х) / (1 + х)] (0,1180 + 0,03305а:2) -

- 0;4156(1 - X2)2In2 [(I - x)l(I + х)\ + QfimSl(X). (8.42)

Наконец, используя соотношения (3.3), (8.8) и (8.39)—(8.42), получим для величины N0 в случае f(x)=f формулу

N0 = я/ [cZS0 + 0,8106d2o X-1 + (dxl + d3l — 0,03287 с^го) ^~2 +

+ (1,442?! - 0,2762dudM - 0,1807d31dao - 0,024504,) Х~3 +

+ In 2к (I - dnk~* + O1ISOld1A0X-3) + О (Я,-* In2 2Х)]~\ (8.43)

4. Приведенные в пп. 1—3 асимптотические решения имеют ограниченный диапазон применимости по X; эти ограничения в основном диктуются радиусом сходимости степенных рядов, ВХОДЯЩИХ в формулы (8.4), (8.24) и (8.25), (8.34) и (8.35).

Естественно возникает мысль переразложить найденные решения в степенные ряды по новому малому параметру т, связанному с X зависимостью

X= -Ц~-(I + ait2 + а2т4 + ... + Я{Т2{) (і < оо), (8.44)

где а,- — пока произвольные постоянные. Например, формула

(8.20) примет вид

Ф (х) = ф0 (х) + фі (х, аи а2, ..., а{) т2 +

+ ф2(ж, а?, а2, ..., а{) т4+...+ qa(x, аи а2, . . ., а{) х21. (8.45)'

Если теперь в (8.45) постоянные а; найти так, чтобы

\ifu(x, а„ а2, ..., at) I < M < оо (к = 1, 2, ..., г)„ (8.46)

и если при этом окажется, что функция от т, стоящая в скобках
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ

103

в выражении (8.44), будет положительной и монотонно убывающей при т <= [0, 1], то зависимость между К <= (0, °°] и те <=(0, 1) будет взаимно однозначной и формула (8.45) при увеличении і будет давать все более точные результаты в окрестности т = 1. Возвращаясь в (8.45) к К, убедимся, что формула (8.45) будет представлять приближенное решение той или иной задачи при E1 < К < °°, где близость к нулю зависит от количества удержанных в (8.45) слагаемых.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed