Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
<о0 (х)
L -1
Vi-I2
¦dt
<0
<0,
Vi
(8.19)
(X) = - 4 J I [2d, (t ~ ?)Ч (І) +
+ dx(t — t) W1 (і)] (I — t2) '2dt и т. д.
Используя интегралы (2.21), определим последовательно из соотношений (8.19) функции Wn(х) (га= 0, 1, ...) и представим асимптотическое при больших X решение интегрального уравнения (8.5) в согласии с формулами (3.3), (8.18) с точностью до членов порядка Х~6 в форме
ц>(х)
л Vi
1
JVi=F /' (t)
2dxx
— А [2^2 (6г3 —
л
— 6x2t + 2xt2 — 2х + 3|) — 2d\x\ I dt + О
A6Kl-у
(8.20)
Для постоянной N0 в соответствии с (3.3), (8.8), (8.20) получим следующее асимптотическое представление:
Nn
In2X + d. + ^-^+^ + OiX 6)
/<?) d\
Г ______
Л /і -12
. (8.21)
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»
97
Интегрируя (8.20), найдем еще по формуле (2.38)' интегральную характеристику N11 решения интегрального уравнения
(8.5)
ч&2'
W1=JVi-EV(S) 1+^ + ^(4? + ^) +
dl +
+ О {k~s). (8.22)
Строгий анализ показывает, что ряд (8.18) при К > 2/и является асимптотическим (равномерно по х) [15]; при К > > sup(А,оо, 2/к) ряд (8.18) равномерно сходится по х.
Практически формулы (8.20) — (8.22) можно использовать при ^>4/и. Из (8.20) могут быть найдены асимптотические
при больших X решения интегрального уравнения (8.5), огра-
ниченные в точках х = ±1 (см. следствия 2.4, 2.5).
2. Допустим теперь, что для функции L(u) имеет место разложение
N
L(u) = 1+2 c.2nu~in + О (и-**-*) (и-*- оо). (8.23)
п—Х
С помощью интегралов (1.20) и им подобных можно убедиться, что асимптотика ядра к (t) при малых t будет иметь вид
к (t) = In 111I1 (t) + I2 (t), (8.24)
Ij (t) = S dHt2i + О Um) (/ = 1, 2),. (8.25)
1=0
где несколько первых коэффициентов dji даются формулами
OO
d10 =—I, Ci1I=O1Sc2, d12= 24, d20 = J* \L (и) 1 + e ]u du,-
d21 == — T-C2 + [ [ц2 — (u) + c2 (l — e U)1 u
(8.26)
OO
dM “ J§ c4 - 54 J* Ui (i + C-l\ — UiL (u) + c4 (I — e~u)
du
и
Покажем, что при больших значениях параметра К может быть построено эффективное асимптотическое решение уравнения (7.1) гл. 1 с ядром (8.24), (8.25), если соответствующим образом модернизировать [16] метод, изложенный в п. 1. Заметим прежде всего, что в силу (8.24) — (8.26)
г,(i) = In Ul[1 +Zi(«)] + *»(*}. (8.27)
7 в, М. Александров, E1 В. Коваленко
98
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ PF.TTTF.mTff
Как следует из (8.27)', її (і) ¦— In | і | при t-*¦ 0; тем не менее можно показать, что сохраняет силу теорема 2.13 и лемма 2.6. Кроме того, может быть доказана теорема, аналогичная теореме 2.15.
Решение интегрального уравнения (8.7) при I0 (t) вида (8.27) будем искать в форме (3.3), где
м (х) = S 2 Oanj (х) Ini 1 + 0 (k-*N~2 InN+1K). (8.28)
n=o і=О
Подставляя ф(ж) (3.3), (8.28) в правую и левую части уравнения (8.7) и приравнивая выражения при одинаковых степенях Я-2 и In Я, получим следующие соотношения для последовательного определения M2Ji1 s (х):
N1
X
-I
Г (S)Zl-S2
S-* 1
dI
со.
+ 2dix In 11 -11) (t -1)
dt
2 d
Co21 (x) =
COd
2d b Vл b dt
-^r J 1-х d% J M00 (t) (t — I) VJZTt2«
-I —I
I --------I
і (x) = 2 j і____x J [co2o (t) (2d2i + dxl +
Vi -t*’
-I -I
+ 2dlx In 11 — 11) (t — I) + (O00 (t) (4dj2 + dl2 + 4d12ln f t — I \) X
'dt
Vi -1^
(o,
(x)-------J і__________% d%> j* [M2i (0 (2^21 + dxl + 2dxx In I і
'41
Vi
-EI )(*-?)- Zd11Ca20 (t) (t-D- 4d12Q>00 (t) (t - m
I ------ I
®42 (x) = J ~f=T~ J “21 M ^ и т- Д- (8-29)
Я _! _! Г I — t
Затем можно определить величину N0 из соотношений (3.3),
(8.8) и (8.27)-(8.29).
§ 8, АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ ?.»
Используя интегралы (2.21)' и
99
[г,
1
(X) = -J
т” In It-
VT
¦dx, [г0 (ж) =я In 2,
, . V(2i — 1Н! x2n~2i+l У-гп+1 (х)-Л 2i (Ol)U 2n-2i + l'
(2г)И 2п — 2i —(— 1
(2i — 1)11 Ж2П—2І+2
г=О
(2г)1! 2га — 2г —2
+
2П+2
1п2+ 2
(-1Г
2—1
(2п + 1)1!
(2п + 2)\\
(п = 0, 1, ...), (8.30)
для важного частного случая /(ж) = / получим следующее асимптотическое при больших X решение:
<р (X) = -^==J [l + (<*21 + 4 dll - tin In 2х)(1 - 2х*) Х~г +
+ (E1 + E2 In 2Х) (1 - 2хг) Х~* + (Es + Ei In 2X) (1+4г2-8Xі) Х~1 +
+ O(X-eIn3X)Jt (8.31)
N0 = я/ [?^20 ^ 2Х + (с^2і ~Ь dxl — In 2Х) X + (Ezt + Eq In 2Х^—
- 0,25с& In2 2Х) X"4 + О (Х~в In3 X)]”1,, (8.32)
E1 = Yd^d11 -^- + 3d22 H ^“^ігї Ег = Jdll 3d12#
¦jj d21dxl + + — di2 + d12, Ei- -py dxx — d12f
' " • 1 •• ¦ 25 d,.. E.~ 1 •-
I j2 3 7 7 9 ,2 , 9 , 21
2 22 T 24 12’
12 11 2 12t
E5 — 4 ^21 — 4 ^21^11 c^ll + 4 ^22 + g ^12
E1
I J J . 3 72 9 7
iS — J ^21 11 + J aIl 4" 12’
Если ряды (8.25) равномерно сходятся при If| < р, то изложенная схема будет иметь смысл по крайней мере для всех X > 2р-1. Формулы (8.31), (8.32) практически можно использовать при X > 4р-1.
3. Наконец, рассмотрим случай, когда для функции L (и) справедливо разложение (сравните с первой формулой (1.19))
