Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(8.8)
причем ф (д?) I — X2 = (о (х) є Щ (—1,1), где iY=sOt (а<1) и 1Y = 1 — є (а = 1,' є > 0), т. е. если / (х) є #“ (— 1,1) (0<as?l), то интегральное уравнение (7.1) гл. 1, (1.3) (а следовательно, и (8.5)) однозначно разрешимо в Lp(—1, 1)<=Н (1<р<2) и его решение ф(х) представимо в виде (3.3). Это означает, что интегральный оператор А, стоящий в левой части
(8.1) гл. 1, имеет в Lp (— I, 1) (1<р<2) ограниченный об-
ратный оператор А-1 такой, что ф = яА-1/ и выполняются следующие соотношения корректности:
ЇФІьр<0і(ВД|Іа, ІНЬ<02(ВДіи (8.9)
hI hO hI
где Q1 (X) и Q2(I)—ограниченные при любом фиксированном к постоянные. Следовательно, справедлива
Теорема 2.13. Пусть f(x)^Hi(—1,1) (0<<X<1)’.
Тогда интегральное уравнение (8.5) (или (8.7), (8.8)) однозначно разрешимо в Lp(—I, 1) (1<р<2) при ^є(0, оо) и его
решение ц>(х) представимо в форме (3.3), где (о(ї)єЯ^(—I, 1) (Y = a, a<l; 1Y = I — є, a = 1, є>0). При этом имеют место соотношения корректности (8.9).
Следствие 2.4. Если /(i)efl?(—I, 1) (0 < I), f(x) є
єЯ?(1-є, I) (є>0, V2 < fJ < 1) и выполнено условие
V. + $ г т /Щ di+Al У'Ш 5 f ®l’ (iTf)« - °-
-I -I -1
(8.10)
равносильное условию со (1) = 0, то решение <р(х) интегрального
84
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
уравнения (8.5) при X є (0, оо) имеет вид (3.24), причем
O1 (ж) є Hv0 (— 1,1) Y = inf (a, P — V2).
Следствие 2.5. Если /(г)е^(-1,1) (0<а<1),
/(*)єЯ?( Г) (V2 < P ^ 1, Г — система отрезков [—1, —1 + е], [1 — е, 1], е > 0) и выполнены условия
».+ + ^ I7=I |*®й(Цг)«-*
іуё?«¦+ Ш Jу=?Itf mi'-Prf)
равносильные условиям о (±1) = 0, то решение ф(х) интегрального уравнения (8.5).при А,*= (0, °о) имеет вид (3.27), где
<о2 (х) є Hj (— 1,1), причем 1Y = inf (ot, P — V2).
Следствия 2.4, 2.5 вытекают из теорем 2.13, 2.4, 2.6.
Помимо теоремы 2.13, с учетом ле*ммы 2.5 и теоремы 2.1
сформулируем без доказательства следующую, более общую теорему.
Теорема 2.14. Если /(х)єЯ“+1(—1,1) (0<а^1), то при К ^ (0, оо) существует единственное решение интегрального уравнения (8.5) ф(x)^Lp(—I, 1) (1<р<2), представимое в
форме (3.3), причем а>(х)^С„(—I, 1).
На основании теоремы 2.14 могут быть сформулированы следствия, аналогичные следствиям 2.4 и 2.5.
Если /(ж)єЯ“(—1,1) (0<а=$1), то в соответствии с
теоремой 2.13 решение интегрального уравнения (8.7) в классе LP(-11 1) (1< р< 2) нужно искать в виде (3.3), где
<о(х) є #о (— I, I) cr С(— I, I). На основании сказанного представим уравнение (8.7) в форме
і
M(X) = M0(X)^-Bffli Вй= j M (I) F (|, Xx X) d\, (8.12)
“1
(8.13)
причем м0(х) дается правой частью формулы (3.21), а возможность перестановки порядка интегрирования в третьем слагаемом в правой части (8.7) следует из условия ф(г)єі?(-1, 1)
(1 < р < 2), леммы 2.5 и леммы, приведенной на с. 60 монографии [3].
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»
95
Лемма 2.6. Оператор В, определяемый формулами (8.12)'г
(8.13), является вполне непрерывным оператором из С(—I, 1) в C(—l, 1).
Для доказательства исследуем сингулярный интеграл F*(|, х, X), подобно тому, как исследовался при доказательстве теоремы 2.1 интеграл (3.4). С учетом указанных в лемме 2.5 свойств функции I0 (0 убедимся, что интеграл F* (|, х, X) есть непрерывная со всеми производными функция по совокупности переменных I, X <= [-I1 1] при любом 0 < X < 00.
Дальнейшее доказательство не вызывает затруднений (см.,, например, [12]).
Теорема 2.15. Пусть /(а;)є#?(—1,1) (0<се<1) к
справедливо неравенство
X > X00 = D2 (— D1 +YD\ + 2D2) , ^ ^
D1 = max I l'0 (t) I, D2 = max | Ґ0 (t) |, ?<=[0, oo).
Тогда решение интегрального уравнения (8.12) в классе С(—I, 1) существует и единственно (с точностью до постоянной N0), может быть найдено методом последовательных приближений, а также имеет место оценка (3.23) гл. 1.
Для доказательства воспользуемся принципом «неподвижной точки» Банаха. Оценим норму Вм в С(—I, 1). Имеем
1Вм||с(-м) = -4гтаХ;
ЗХ At
1
г
І7Г=^*(5ііД)<і5
1
<11® fct-l.l) ^max* J \F*& х. Tl) I угр-р- (8Л5)
Для оценки модуля функции F*(I, X, X) вида (8.13)' воспользуемся теоремой Лагранжа о среднем значении и интегралом (2.21). Получим
і
і F*a, х, х)| = |
I[V -в (Чг)] - *s
SX
< max,
«'[br-^V)]!+"HK(1Tl)I <о<9<‘>-
(8.16)
Подставляя (8.16) в (8.15), окончательно найдем
BBfflIIoj-Ili, < Iloiict-і. і)[?>2(2Х2)_1 + ?>Д-1]. (8.17),
Из неравенства (8.17) видно, что при выполнении (8.14) оператор В есть оператор сжатия в (7(-1, 1), что и доказывает теорему.
96
ГЛ. 2, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Получим теперь асимптотическое при больших К решение интегрального уравнения (8.5). Именно, в соответствии с теоремами 2.13—2.15 и леммами 2.5, 2.6 при К > sup^», 2/к) будем искать функцию са(х) в (8.12) в виде следующего ряда:
(О
(х) = 2 (х) л
п= О
(8.18)
Внося выражение (8.18) и разложение (8.4) в уравнение (8.12), (8.13) и приравнивая члены правой и левой частей при одинаковых степенях Х~2, получим систему рекуррентных соотношений для определения функций м„ (х):