Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 3

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 105 >> Следующая


В двумерных случаях (плоском и осесимметричном) положение с решением операторных уравнений (1.7), (1.9) обстоит значительно лучше. В плоских смешанных задачах для гармонической функции в случае области V с достаточно гладким контуром решение с помощью метода конформных отображений может быть представлено в замкнутом виде. Осесимметричные смешанные задачи для гармонической функции могут быть, как правило, эффективно решены с помощью сочетания аналитических и численных методов.

До сих пор речь шла о смешанных задачах для уравнения Лапласа. Смешанные задачи механики сплошных сред могут быть исследованы по изложенному выше плану. Вместе с тем математические трудности здесь еще больше увеличиваются, поскольку смешанные задачи механики сплошных сред в большинстве своем являются «бигармоническими» и «тригармоническими». 7/величивается также и разнообразие возможных постановок смешанных задач.

Опишем схематично основные типы смешанных задач механики сплошных сред и дадим их классификацию по степени математической сложности на примере смешанных задач теории упругости.

Пусть на гладкой поверхности S упругого тела, занимающего односвязную область V (рис. 1.1), задана ортогональная система коярдинат (s, t, п). Здесь s и I — оси, лежащие в касательной

!) Известны также [6] замкнутые решения в случаях гиперболической и параболической области S1 при / (Q) = const.
8

ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

к поверхности S плоскости в некоторой точке Q, п — внешняя нормаль к поверхности тела в точке Q. Вектор полного напряжения в точке Q можно теперь представить в виде

Pu TnsSg “Ь ТпДо, (1.11)

а вектор полного перемещения точки Q — в виде

u = Wn0 + Us0 + ^t0. (1-12)'

Здесь n0, S0 и t0 — единичные векторы, On — нормальное напряже-

ние, т„, и Tnl — касательные напряжения.

Смешанные задачи теории упругости можно разделить на три типа:

а) на всей поверхности S заданы какие-либо два напряжения или два перемещения, третье напряжение (перемещение) и соответствующее ему перемещение (напряжение) заданы на двух взаимно дополняющих друг друга частях S1 и S2 поверхности S, например,

т п, = Pz(Q), Xnt = P3(Q) (QeS),

(1.13)"

On = Qi(Q) (QeSl), W = U(Q) (QeSz)-,

б) на всей поверхности S задано какое-либо напряжение или перемещение, два других напряжения (перемещения) и соответствующие им перемещения (напряжения) заданы соответственно на S1 и S2, например,

Gn = Pi(Q) (Q^S),

Tn , = qz(Q), Tnl = q3(Q) (QeSi), (1.14)’

u = U(Q), v = f3(Q) (QeSz)-,

в) на S1 задан вектор полного напряжения, а на S2 — вектор

полного перемещения (полный раздел граничных условий)

o» = 5i(<2), т ». = 32«?), rnt = q,(Q) (QeSl),

(1.15)’

w = fi(Q), u = U(Q), V = U(Q) (QeSz).

Рассмотрим более подробно задачи типа в). Согласно изложенной выше схеме решения смешанных задач необходимо сначала изучить вспомогательную несмешанную задачу. В качестве такой задачи возьмем следующую: на всей поверхности тела S задан вектор полного напряжения

On = Pi(Q), т„, = pz(Q), Xnt=P3(Q). (1.16)’

Предположим, что мы сумели найти решение этой задачи

теории упругости, т. е. определили поля перемещений и напряжений внутри данного тела. Тогда мы также будем знать перемещения точек поверхности тела S. Именно, нам будет известен
§ 1. ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

матричвый оператор

A(Pn) = U(C) (QeS),

(1.17)

или, в проекциях на оси (s, t, п),

-4- її (Pi) Aiz(Pz)j^ ^4.13 (Рз)== w (Q), Ац(рі) Azz(Pz)jT Az3(рз) = и(Q)) ^4зі(рі)"Ь A3z(Pz)jT А33(р3) = V (Q).

(1.18)

В силу линейности уравнений теории упругости все операторы Aij будут аддитивными и однородными. Заметим также, что операторы по возможности должны быть представлевы в аналитической форме.

Введем в рассмотрение разрывные фувкции

Удовлетворяя теперь первой серии гравичвых условий (1.15), найдем, что

Удовлетворяя далее с помощью соотношевий (1.18) второй серии граничвых условий (1.15), получим следующую систему трех операторных уравнений отвосительно веизвестных функций р„ на S2:

Итак, смешанная задача типа в) сведена к решению системы операторных уравнений (1.23). Решив эту систему и определив тем самым ph на Sz, придем к вспомогательной задаче (1.16). Действительно, вектор полного напряжения будет известен нам уже на всей поверхности S. Ho по предположению, сделанному выше, несмешанную задачу (1.16) для данного тела мы решать умеем. Следовательно, зная функции рк на S2, мы сможем опре-

и заметим, что

Л-ij (pi1* + Рй2)) = AiJ (рк1') + Aij (pip). (1.20)

Далее обозначим

aH (Phl)) = 4F (Ph), Aij (рі2)) = Al$ (Pu). (1.21)

A? (Pk) = Au'Ш (ft = I, 2,3).

(1.22)

(Px) + -^12* (po) + (P3) = ft (Q) --- ^lV (Ql) ---- -^lV (?) ---- А\з(ц3),

^2*1 (Pi) + A^ (pi) + ^23 (Рз) = /2 (Q) --- All((h) ----- A-22 (q2) --- A(n((j3) I

(Pl) + -^32* (pi) + (Pa) = /3 (Q) --- -^31! (fJl) — зУ (?) — -I33V/3)
10

ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

делить поля перемещений и напряжений внутри тела и тем самым довести решение смешанной задачи типа в) до конца.
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed