Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
В книге в едином стиле изложены как старые, классические результаты в области смешанных задач, так и все основные новейшие достижения. Особое внимание в ней уделено изложению и математическому обоснованию эффективных методов решения неклассических смешанных задач механики сплошных сред. При этом авторы в основном опирались на собственные исследования. Вспомогательный материал и результаты работ других авторов привлекались лишь по мере необходимости для большей полноты и наглядности. Для демонстрации методов выбирались по возможности несложные задачи, чтобы технические детали не затуманивали существа дела.
Большую помощь при подготовке рукописи оказали И. Ф. Александрова, Н. Ф. Бурмистрюк, С. А. Гришин, П. Г. Ива-ночкин. Ряд своих неопубликованных результатов авторам любезно предоставили JI. М. Филиппова (§ 1 гл. 4) и В. Б. Зеленцов (§ 2 (п. 2) гл. 5). Улучшению всего изложенного материала способствовали замечания, сделанные М. Д. Мартыненко и Б. И. Сметаниным, взявшими на себя труд прочитать рукопись книги. Всем перечисленным лицам авторы сердечно благодарны.
ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общий план решения задач механики
сплошных сред со смешанными граничными условиями.
Основные типы смешанных задач
Главной особенностью задач со смешанными граничными условиями является то обстоятельство, что, прежде чем приступать к их решению, необходимо предварительно научиться решать соответствующие несмешанные задачи. Рассмотрим это более подробно на примере классической задачи математической физики [1] об определении гармонической функции ф(P) в трехмерной односвязной области V (PsV) по ее значениям или значениям ее нормальной производной на границе области S.
Если на всей границе S (включая бесконечно удаленные точки для неограниченной области V) задана ф((?) (QsS), то такая задача, как известно, называется задачей Дирихле. Если же ва всей границе S задана производная дф (Q)Zdn, то имеем задачу Неймана. Наконец, если (рис. 1.1)
ф (Q) = KQ) (Q є S1), (1.1)
= g (Q) (Q^S2 = SXS1), (1.2)
то приходим к задаче со смешанными граничными условиями.
Введем в рассмотрение неизвестные функции
ф (Q) = P(Q) (Q є S2), (1.3)
(Q) (Qt=S1) (1.4)
Рис. 1.1
и исследуем одну из вспомогательных задач: а) задачу Дприхле
6
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
с условиями (1.1), (1.3) или б) задачу Неймана с условия-
ми (1.2), (1.4).
Допустим, что найдено решение первой вспомогательной задачи в виде
Ф (P) = А*/ + А*р. (1.5)
Отсюда, дифференцируя и устремляя P к границе S, найдем
= A1/ + А2р. (1.6)
Здесь А* и Ai (і — 1, 2) — аддитивные и однородные операторы1). Если теперь принять во внимание, что на S2 значение дц> (Q)Zdn известно, то на основании (1.6) получим операторное уравнение для определения неизвестной функции р:
A2P = g (Q) -A1/ (QeSt). (1.7)
Предположим, что удалось построить точное или приближенное решение операторного уравнения (1.7), тогда по формуле (1.5)' находится решение смешанной задачи (1.1), (1.2).
Точно так же, если найдено решение второй вспомогательной задачи (1.2), (1.4)
Ф (P) = Bl9+ Вот, (1.8)”
то, устремляя P к границе S и вспоминая, что значение ф (P) на Si известно, получим на основании (1.8) операторное уравнение для определения неизвестной функции q:
Biq = f(Q)-Bzg (Q^S1). (1.9)'
После решения операторного уравнения (1.9) решение смешан-
ной задачи (1.1), (1.2) найдем по формуле (1.8).
Таким образом, основные этапы решения смешанной задачи таковы: а) построение решения некоторой вспомогательной (несмешанной) задачи; б) сведение смешанной задачи к операторному уравнению; в) построение решения операторного уравнения. Последняя процедура дает возможность как бы доопределить
граничные условия на S (найти ф (Q) на Sz или йф(Q)Zdn на S1) и тем самым на заключительной стадии решения смешанной задачи найти искомую величину (функцию ф(Р)) внутри области
V по предварительно построенному решению вспомогательной задачи.
Возможность реализации изложенной схемы ограничена, ибо решения операторных уравнений (1.7), (1.9) для трехмерного варианта смешанной задачи только в исключительных случаях
!) Операторы А* могут быть выписаны явно с помощью функции Грина.
§ 1. ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
7
могут быть получены в замкнутом виде. Приближенные методы решения таких операторных уравнений в общем случае еще слабо развиты.
Чтобы лучше охарактеризовать математические трудпости, возникающие на пути решения уравнений (1.7), (1.9), заметим, что даже в таком классическом случае, когда область V есть полупространство и #(<?) = О, а операторное уравнение (1.9) принимает достаточно простой вид [2]
ЯdQp=2я/ {Q) {Q є (іло)
Rpq = I [X- fe) г + (^ — Tl) %
исследование смешанной задачи далеко от завершения. Замкпу-тое решение интегрального уравнения (1.10), за исключением его осесимметричного и одномерного (плоского) вариантов, найдено лишь в случае эллиптической1) области S1 и полиномиальной правой части [2—5]. Построение приближенного решения интегрального уравнения (1.10) для достаточно общего вида области S1 представляет собой серьезную вычислительную задачу.
