Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку по условию задачи сопротивление контактов и согнутого проводника мало по сравнению с сопротивлением движущегося проводника, в контуре AOC согласно закону Ома в момент времени t должен течь ток / = ?/r(t) = S/pvttga. Следовательно, согласно закону Джоуля-Ленца в контуре AOC должна в этот момент выделяться тепловая мощность
Д/ р
По условию задачи согнутый проводник является гладким. Поэтому можно считать, что выделение тепла обусловлено только протеканием тока в контуре. На рис. 63 показана зависимость выделяющейся тепловой мощности от времени. Учитывая, что за малый промежуток времени At выделившееся количест-( во теплоты равно AQ = N(t)At, определим количество О T/v** теплотЬ1> выделяющееся за конечный промежуток вре-
мени, как площадь фигуры под графиком N(t). Восполь-Рис. 63. , ы
зовавшись формулой для расчета площади прямоуголь-
ного треугольника, получим, что при сделанных предположениях за время смещения движущегося проводника на расстояние L от вершины угла согнутого проводника должно выделиться количество теплоты:
Q(OtL) = B2I? у tga/2p.
111.10. Как обычно, будем считать, что стол, на котором лежит кольцо, покоится относительно инерциального наблюдателя. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на кольцо. Поскольку стол является гладким и горизонтальным, действующая со стороны стола сила реакции имеет лишь вертикальную компоненту, компенсирующую действие сил тяжести на кольцо. При изменении во времени индукции магнитного поля согласно закону электромагнитной индукции в этой области пространства должно возникать вихревое электрическое поле, линии напряженности которого лежат в горизонтальной плоскости. Величину напряженности этого поля
107 Решения задач. Электричество и магнетизм
можно найти, воспользовавшись правилом потока Фарадея-Максвелла. Как известно, изменение во времени сцепленного с контуром магнитного потока должно порождать в этом контуре появление сторонних электриче-
ских сил, модуль ЭДС которых в системе СИ равен e>(t) =
<М>
dt
dB_ dt
Учитывая, что кольцо является тонким и находится в однородном магнитном поле, можно утверждать, что площадь контура, ограниченного кольцом, равна S = TiR1, а т.к. все точки кольца находятся в идентичных условиях и длина окружности равна 2nR, то напряженность стороннего электрического поля в любой точке кольца должна быть направлена вдоль касательной к его поверхности, а ее величина должна быть равна
E =
R
dB
dt
. Поскольку кольцо заряжено равномерно, то на любой малый
элемент кольца Al будет действовать сила, направленная перпенди кул яр но радиусу, соединяющему этот элемент с центром кольца, и равная
. Следовательно, согласно второму закону Нью-
R dB |е|д/
2 dt 2тсЯ
тона величина тангенциальной составляющей ускорения любой точки
dB
кольца при изменении индукции магнитного поля со скоростью — долж-
dt
на быть равна |ат| =
IA^I
Am
т dB
2т dt
, т.е. за малый промежуток времени уг-
Q
ловая скорость кольца должна измениться на величину diо =
2т
-dB
. Учи-
тывая, чго кольцо первоначально покоилось, и суммируя приращения угловых скоростей, найдем искомую максимальную скорость, которую приобретет кольцо при выключении магнитного поля:
а>„„г =
Ж.
2т
III.11. Поскольку рамка состоит из небольшого числа витков тонкой проволоки, можно пренебречь потоком магнитного поля, пронизывающим материал ее проводников. Учитывая, что индуктивностью рамки следует
108 Фіаический факультет МГУ
пренебречь, т.е. следует пренебречь потоком магнитного поля, созданного током в проводниках рамки, можно утверждать, что при надлежащем выборе начала отсчета времени сцепленный с рамкой поток в момент времени t будет равен Ф(ґ) = В N S cosa(t), где a(t) = ш - угол между вектором индукции В внешнего поля и нормалью к плоскости рамки. Изменение сцепленного с рамкой потока согласно закону электромагнитной индукции должно привести к возникновению сторонних электрических сил, энергетическая характеристика которых - ЭДС - равна E(t) = -d<b/dt = = BN Scosincof. Поскольку проводники рамки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно R, согласно закону Ома при сделанных предположениях ток в проводниках должен быть равен I(t) = €,(t)/R. При этом в рамке по закону Джоуля-Ленца должна выделяться мгновенная тепловая мощность, равная NT(t) = RI2U).
Полагая, что ось рамки неподвижна относительно инерциальной системы отсчета и потенциальная энергия рамки во внешнем поле остается неизменной, на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что для поддержания неизменной скорости вращения рамки потери энергии, обусловленные выделением тепла, должны компенсироваться работой внешних сил. Напомним, что по определению момент силы относительно данной оси равен произведению плеча силы А на величину F этой силы. За достаточно малый промежуток времени At величину силы F(t) можно считать неизменной, а перемещение точки приложения этой силы совпадающим с ее направлением и равным Ar = со А At. Следовательно, работа источника момента силы за достаточно малый промежуток времени должна быть равна AA(t) = F(t)Ar = M(t)a>At. Отсюда и из сказанного ранее следует, что мгновенная мощность внешней силы
