Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Р = (2) 2 Vli (I -и4)
Сопоставляя между собой соотношения (1) и (2) и подставляя в них заданные числовые значения, получим
^:^:^ = 1:^7^5-:^ = 1:0,9:9.
2(1 -п )
Из этого выражения следует, что минимальным давление газа было при его изобарическом сжатии, а максимальным оно оказалось в конечном состоянии. Поэтому искомое отношение при указанных условиях равно
x = Ejm. = ю.
Pmin
11.10. Согласно условию задачи давление газа во всех точках занимаемого им объема одинаково. Следовательно, можно утверждать, что изменение параметров газа во время цикла осуществляется квазиравновесно, а потому со стороны ограничивающих объем газа поверхностей на него могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверх-
94 Фіаический факультет МГУ
ностям. Поэтому при увеличении объема на величину AV при неизменном давлении р работа газа будет равна AA = р AV. Для нахождения работы газа на участках 1-2 и 3-4 разделим весь диапазон изменения объема газа на этих участках иа столь малые части AV, чтобы в пределах каждой из них давление можно было считать практически неизменным. Тогда работу газа иа каждом из таких малых участков можно будет вычислить, воспользовавшись приведенным выше выражением. Просуммировав все вычисленные таким образом элементарные работы, можно доказать, что работа газа за цикл будет численно равна площади цикла на р ( '-диаграмме при надлежащем выборе масштабов по осям этой диаграммы. Следовательно, если р\ - давление газа в точках / и 4, а р2 - его давление в точках 2 и 3, то, вспоминая выражение для площади параллелограмма, можно утверждать, что газ за цикл должен совершить работу А = (р2 - Pi) (V2 - V1), где Vt -объем газа в точке /, a V2 - его объем в точке 2. Поскольку газ является идеальным и его количество равно одному молю, то на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что PiVj = RTj, где R -универсальная газовая постоянная, а Т, - абсолютная температура газа по шкале Кельвина в точке с номером /'. Используя эти соотношения, формулу для расчета работы газа можно переписать в виде:
Поскольку объем газа в точках 2 и 4 по условию задачи одинаков, а фигура, изображающая на р('-диаграмме заданный цикл, является параллелограммом, то длины отрезков 1-4 и 2-3 должны быть одинаковы, а потому Vx = 2 V2 -V3. Следовательно,
Неизвестную температуру в точке 4 определим, учитывая, что объемы газа в точках 2 и 4 одинаковы, а на участке 4-1 газ сжимают изобарически. Следовательно, иа основании закона Гей-Люссака можно утверждать, что Vx/Tx = V2/T, или с учетом полученных ранее соотношений
A = (Tx + T2-T,)R-p2Vx.
(1)
p2Vx=(2T2-T3)R.
(2)
v2 Рг = T1T2
(3)
Vxp2 2 T2-T3
95 Решения задач. Молекулярная физика и термодинамика___
Подставляя найденные значения р2 V1 и T4 в уравнение (1) и приводя подобные члены, выразим искомую работы газа за цикл через заданные температуры газа и величину универсальной газовой постоянной:
11.11. Как известно, коэффициент полезного действия цикла равен отношению работы, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты, полученному газом от нагревателя за то же время. В рассматриваемом цикле изменение параметров газа происходило квазиравновесно, т.к. в противном случае в противоречии с условием задачи было бы невозможно ввести единое давление во всех частях объема, занятого газом, а потому было бы невозможно графически изобразить цикл.
В силу того, что газ обладает свойством текучести, при квазиравновесном изменении параметров газа, как отмечалось в решении предыдущей задачи, его работа за цикл численно равна площади фигуры, изображающей заданный цикл на р V'-диаграмме, при надлежащем выборе масштабов на осях этой диаграммы. Будем обозначать давление газа, занимаемый им объем и его абсолютную температуру по шкале Кельвина соответственно символами р, V и Т, снабжая их индексом, совпадающим с номером точки на pF-диаграмме. Вспоминая выражение для площади прямоугольного треугольника, на основании сказанного можно утверждать, что работа газа за цикл равна А = (р2 - Р\) (V2 - V1 )/2.
Определим теперь количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя. На участке 1-2 газ совершает работу A12 =(р, + р2)(V2 - V1)/2 (см. доказательство в решении задачи II.8). При этом давление и объем газа увеличиваются при неизменном количестве вещества - один моль. Поэтому температура и внутренняя энергия газа должны возрастать. Следовательно, на этом участке газ должен получать тепло. Вспоминая, что внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна 1,5RT, где R - универсальная газовая постоянная, на основании первого закона термодинамики найдем количество теплоты, полученное газом на этом участке: Qn= An+\,5 R(T2-Tx). На втором участке температура газа уменьшается, и газ не совершает работы. Следовательно, на этом участке
96 Фіаический факультет МГУ
газ должен отдавать тепло холодильнику. Можно доказать, что и иа третьем участке газ отдает тепло холодильнику. Таким образом, за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты, равное Q12.
