Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
86 Фіаический факультет МГУ
мического равновесия должна увеличиться на величину, равную Wk. Будем, как обычно, считать гелий идеальным газом. Поскольку гелий является одноатомным газом, его внутренняя энергия (как и любого идеального одноатомного газа) определяется лишь кинетической энергией хаотического движения атомов и равна Will = 1,5 vR T, где v - число молей газа, T -температура газа по шкале Кельвина, а Л «8,31 ДжДмоль К) - универсальная газовая постоянная. Поскольку число молей гелия, находящегося в сосуде, равно /я/ц, где д = 4г/моль - молярная масса гелия, то после остановки сосуда и установления в нем термодинамического равновесия температура гелия должна увеличиться на AT = ц и2 /зR. По условию задачи сосуд был заполнен гелнем при нормальных условиях, т.е. давление гелия в сосуде и его температура при заполнении были равны р = 1 атм и T«273К. Учитывая, что объем и число молей гелия остаются неизменными, на основании закона Шарля для идеальных газов можно утверждать, что р/Т = (р + Ар)/(T + AT), где Ap - изменение давления гелия после остановки сосуда и установлення в нем состояния термодинамического равновесия. Решая это уравнение с учетом полученных ранее соотношений, определим искомое относительное изменение давления гелия в сосуде:
р T 3RT
ІІ.З. При решении задачи будем полагать, что 1) трубка покоится относительно лабораторной системы отсчета, являющейся инерциальной; 2) трубка имеет постоянное поперечное сечение; 3) колена трубки располагаются строго вертикально; 4) давление в коленах трубки над поверхностью воды не изменяется по мере удаления от этой поверхности; 5) нагревание трубки осуществляется столь медленно, что в трубке все время имеет место состояние термодинамического равновесия; 6) изменение состояния находящегося в трубке воздуха в рассматриваемом диапазоне температур и давлений с требуемой точностью описывается уравнением Клапейрона-Менделеева.
При соблюдении этих предположений можно утверждать, что давление на поверхность воды в колене, из которого удален воздух, равно дж-лению насыщенных паров воды, а в другом колене равно сумме парциальных давлений воздуха и насыщенных паров воды. Поэтому перепад урсв-ней воды в коленах трубки должен быть равен парциальному давлению
87 Решения задач. Молекулярная физика и термодинамика
воздуха. Следовательно, если измерять давления в разных частях трубки в единицах высоты водяного столба, то парциальное давление воздуха рх при начальной температуре должно быть равно Ai. При нагревании уровень воды в колене, содержащем воздух, должен понижаться, т.к. давление на поверхность воды в этом колене при неизменном ее уровне должно было бы возрастать быстрее, чем в другом колене, не только за счет роста давления насыщенных паров воды, но и за счет роста давления воздуха. В дополнение к сделанным предположениям, будем считать, что при нагревании до конечной температуры уровень воды в колене, содержащем воздух, остается выше верхней точки среднего сечения трубки, а потому воздух не может проникнуть в другое колено. Тогда на основании объединенного газового закона можно утверждать, что парциальное давление воздуха при конечной температуре должно стать равным
L2 Ii
где Tj « Ij + 273 - абсолютная температура содержимого трубки в начальном (г = 1) и конечном (г = 2) состояниях, a L2- высота столба воздуха при конечной температуре. Прн выводе этого соотношения учитывалось сделанное выше предположение о постоянстве поперечного сечения трубки. В соответствии с условием задачи и сделанными предположениями естественно пренебречь сжимаемостью воды, а потому считать ее объем неизменным. Тогда можно утверждать, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки х = A2 - А, должно быть величиной положительной и удовлетворять условию L2-L1= х/2. Используя два последних соотношения, уравнение (1) можно представить в виде:
Li A1 T1 =(?, + x/2)(hx +х)Т\. Из этого уравнения следует, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки после ее нагревания прн выполнении сделанных выше предположений должно быть равно
Ж = vUl + Л,/2)2+ 2A1 Li(T2-Tl) Tl -(Li + A1 /2)я7,4см.
Н.4. Как обычно, при решении данной задачи будем полагать, что сосуд и его содержимое покоятся относительно лабораторной системы отсчета, а эта система является инерциальной. Поскольку поршень толстый, а его ось горизонтальна, то его плоскости, соприкасающиеся с ртутью и
88 Фіаический факультет МГУ
воздухом, всегда должны оставаться вертикальными. Наконец, учитывая, что по условию задачи поршень является гладким, можно утверждать, что он будет находиться в равновесии при равенстве сил, действующих на него со стороны ртути и воздуха. В исходном состоянии ртуть полностью заполняла левую часть сосуда, но не оказывала давления на его верхнюю грань. По условию задачи следует пренебречь давлением насыщенных паров ртути. Будем также пренебрегать сжимаемостью ртути и считать плотность воздуха внутри заполненной им части сосуда постоянной при неизменных температуре и объеме. Тогда можно утверждать, что при первоначальной температуре давление воздуха должно было быть равным рх =pgh/2, где р - плотность ртути, g - ускорение свободного падения, а h - высота поршня. Поскольку при медленном охлаждении давление воздуха при неизменном его количестве должно медленно падать, можно пренебречь ускорением поршня и считать, что уровень ртути в левой части сосуда понижается монотонно. Еслн высоту столба ртути при конечной температуре обозначить A2 (см. рис. 59), то давление воздуха в правой час-
