Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
По определению длина дуги окружности радиуса Д заключенная между радиусами, образующими угол ф, равна Rф. Следовательно, тангенциальная составляющая ускорения точки диска, находящейся на расстоянии R от оси вращения, равна a, = е R. Вспоминая, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся с угловой скоростью со по дуге с радиусом кривизны R, равна ап(т) = Rсо2(т), можно утверждать, что ускорение шайбы к моменту времени т относительно системы отсчета, в которой ось диска неподвижна, должно стать равным я(т) = -у/я2(т) + а2 .
Считая, как обычно, указанную систему отсчета инерциальной и пренебрегая действием воздуха на шайбу, можно утверждать, что ускорение шайбы обусловлено действием на нее только тангенциальной составляющей силы реакции диска, т.к. плоскость диска по условию задачи горизон-
72 Фіаический факультет МГУ
тальна. Поэтому согласно второму закону Ньютона максимальное значение тангенциальной составляющей силы реакции диска - силы сухого трения - должно быть равно Fzmax =та(т). Учитывая, что при выполнении сделанных ранее предположений шайба прижимается к диску только за счет действия на нее силы тяжести, получим, что нормальная составляющая силы реакции диска должна быть равна N = mg, где g - ускорение свободного падения. Поэтому, вспоминая закон Кулона для сил сухого трения, можно утверждать, что ц = Fxmax /N . Подставляя в это выражение ранее полученные соотношения, определим искомый коэффициент трения шайбы о диск:
1.8. Будем, как обычно, лабораторную систему отсчета, неподвижную относительно полотна дороги, считать инерциальной. Поскольку в соответствии с условием задачи следует пренебречь размерами автомобиля и влиянием на него воздуха (в том числе и аэродинамическими силами, которые могут прижимать автомобиль к дороге или приподнимать его), то уравнение движения автомобиля в указанной системе отсчета согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:
где т - масса автомобиля, а - его ускорение, g - ускорение свободного падения, a F - сила реакции дороги, действующая на автомобиль. По условию задачи автомобиль движется в горизонтальной плоскости по дуге окружности радиусом R с постоянной по величине скоростью. Следовательно, ускорение автомобиля должно быть направлено горизонтально к центру дуги окружности, а его величина должна быть равна a = v2/R, где v -модуль скорости автомобиля. Поскольку скорость автомобиля не изменяется по величине и все колеса автомобиля являются ведущими, то сила реакции дороги должна лежать в вертикальной плоскости, проходящей через центр кривизны траектории автомобиля и сам автомобиль. Если силу реакции F, как обычно, представить в виде двух составляющих, одна из которых перпендикулярна полотну дороги (нормальная составляющая Fn), а
тл = mg + F,
(1)
73 Решения задач. Механика
другая параллельна ему (тангенциальная составляющая Ft), то уравнение (1) движения автомобиля в проекциях на оси декартовой системы координат, показанной на рис. 57, можно представить в виде:
mv2 /R =Fn Sinan-Fxj., 0= Fn cosa + F1y-mg.
(2)
где Ftx и Fv - проекции составляющей Ft на оси OX и OY, а Fn - модуль составляющей F,,. При этом было учтено, что нормальная составляющая
может быть направлена только вверх перпендикулярно полотну дороги.
Если бы на колеса автомобиля не действовала сила трения, т.е. составляющая Ft была бы равна нулю, то согласно системе уравнений (2) скорость рис автомобиля при сделанных допущени-
ях была бы равна V0 = JgRtga. При V < V0 и отсутствии сил трения автомобиль под действием составляющей силы тяжести, направленной вниз, начал бы соскальзывать. Следовательно, при V < V0 автомобиль будет двигаться заданным образом, если составляющая Ft будет направлена вверх вдоль дороги, т.е. так, как показано на рис. 56 пунктирной линией. При этом согласно системе уравнений (2) составляющие силы реакции дороги должны удовлетворять соотношениям:
F =
gxosa + — sina
/77, FT
gsina--cosa
R
т,
(3)
где Ft - модуль составляющей Ft. Отсюда, учитывая, что тангенциальная составляющая согласно закону Кулона для сил сухого трения не может превышать ц Fn, т.е.
Ft g Riga-V
Fn gR + v2 tga
SU.
(4)
при |і < tga получим:
g/?tga/ <v< JgRtga, 1 +Iitga
(5)
74 Фіаический факультет МГУ
а при > tga скорость движения автомобиля в рассматриваемом случае должна удовлетворять условию: 0 < v < V0.
При V > V0 сила трения со стороны дороги должна быть направлена вниз, а вместо неравенства (4) должно выполняться соотношение:
F^y-gRXga^ (6)
Fn gR + vliga
Следовательно, если ц < ctg a, то скорость автомобиля должна удовлетворять неравенствам:
V0 = JgRXga <v< Uf^L, (7)
V 1 - |itga
если же |i > ctg a, то ограничения на максимальную величину скорости автомобиля нет.
Поскольку по условию задачи коэффициент трения не превышает единицы, то искомая скорость v движения автомобиля должна удовлетворять следующим соотношениям:
О <v< JgR ^ + Ja =Vmax при tga < |i,
I-Htga
Vmin = Jgfltg" Ц ? V< Vmax при ц < tga < 1/ц, 1 +Iitga
