Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
f = g
т -
(r~h)F
gyl(2r-h)h
О при
mgyj(2r-h)h при F<---= F1,
r-h F > F1.
1.6. При решении задачи будем полагать, что крышка стола покоится относительно инерциальной системы отсчета, куб и крышка являются твердыми телами и можно пренебречь действием воздуха. По условию задачи под действием приложенной к нити силы куб должен начать поворачиваться без скольжения. Поскольку нить прикреплена к середине одного из верхних горизонтальных ребер и ее тянут перпендикулярно этому раэ-ру, из соображений симметрии можно утверждать, что куб должен начать поворачиваться вокруг одного из нижних ребер, параллельных тому ребру, к середине которого прикреплена нить. На рис. 56 показаны сечения куба
F Wg
1 тр4 "
вертикальной плоскостью, в которой располагается нить. Здесь же показаны силы, действующие на куб, когда за нить тянут вниз или вверх под углом а і к горизонту с силой F/ такой, что при ее незначительном увеличении куб начал бы поворачиваться. В первом случае угол наклона нити к горизонту Oii будем считать отрицательным, а во всех остальных - положительным, причем 0<а2 < к/4, я/4 < Ot3 < 7t/2. Поскольку куб является однородным, действующая на него сила тяжести mg (где g - ускорение свободного падения) приложена к центру куба. Результирующая сил реж-ции крышки, как это обычно и делают, изображена в виде двух составляющих: нормальной N, и тангенциальной Flpf. Точки приложения этих составляющих в первом и втором случаях обозначены на рис. 56 символом Oi, а в третьем и четвертом - O2.
69Решения задач. Механика
Поскольку куб не должен скользить по крышке, при сделанных выше предположениях и с учетом соглашения о правиле знаков при отсчете угла наклона нити к горизонту, согласно первому закону Ньютона должны выполняться равенства:
Nj-mg+ Fj sina,=0, (1)
Frpi-Fj cosa, = 0, (2)
где і = 1,2,3,4.
Поскольку при незначительном увеличении силы, действующей на куб со стороны нитн, он начинает поворачиваться, то алгебраическая сумма моментов сил в рассматриваемых случаях должна быть равна нулю. Поэтому в первом и втором случаях, выбирая в качестве оси вращения ребро куба, проходящее через точку O1, и вспоминая определение момента силы относительно данной оси, в соответствии со сказанным получим:
0,5amg-aF, cosa, =0, (312)
где і - 1, 2. В третьем и четвертом случаях из сказанного ранее следует, что
0,5amg -a Fi Sina3 + aF3 cosa3 = 0, (З3)
0,5amg-aF4 Sina4-aF4cosa4 =0. (34)
Во всех случаях согласно закону Кулона величина тангенциальной составляющей силы реакции крышки - силы сухого трения покоя - не может превышать произведения коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. должно соблюдаться неравенство
^V • (4)
Из уравнений (3[ 2) следует, что величина силы натяжения ннти в первом и втором случаях должна быть равна Fj = mg/2cosa,, причем согласно уравнениям (1), (2) из неравенства (4) в этих случаях tga, <2-1 /ц. Поскольку по условию задачи ц<0,5, то tga, <0. Учитывая, что в первом случае - я/2 <a 1 <0, а во втором случае 0 < а2 < тг/4, можно утверждать, что второй случай при заданных условиях не реализуется, а в первом случае cosa, < ц/y]5\i2 - 4|д +1 и, следовательно,
_У5ц2-4ц + 1
[min --^-т S '
2ц
70Физический факультет МГУ
причем у/5- 4/ц + VH2 > 1, т.к. ц < 0,5.
mg
В третьем случае согласно уравнению (З3) F3 =-, а из
2(sina3 -COsa3)
соотношений (1), (2) и (4) вытекает, что Cosa3 <(sina3 -2cosa3)n- Следовательно, этот случай может иметь место, причем
F-mg^F ч
jttiifi--rImin' W3J
и нить следует тянуть вертикально вверх.
Наконец, в четвертом случае из уравнения (34) получим
F mg mg С5
Г 4-——---7=-5 Р4
2(sma4+cosa4) 2V2sm(a4 + я/4)
причем из соотношений (1), (2) и (4) следует, что
Ctga4 <—~ - (54а)
1-2ц
Поскольку максимального значения синус угла достигает тогда, когда угол становится равным я/2, то искомая величина силы натяжения нити минимальна при a4 = я/4 и равна
с( п) mS F4 a4 =-| = -
4 J 2л/2'
Конечно, это утверждение будет верно, если при этом выполняется соотношение (54а), т.е. имеет место неравенство 1/3 < ц.
Если же О < ц < 1/3, то нить следует тянуть под углом
a4 = arccos[n/7(l - 2ц)2 + ц2 ]. При этом искомая сила натяжения нити должна быть равна
2(1 -ц)
71Решения задач. Механика
Итак, при О < ц < 1/3 нить следует тянуть так, как показано на рис. 24, под углом oi4 = arccosfn/yj{ 1 — 2ц)2 +ц2] к горизонту с силой
F(0S ^ 1/3) = 2^
2(1 -ц)
Если же 1/3 < fx < 0,5, то к нити следует прикладывать силу, направленную под углом а4 = л/4 к горизонту, величина которой не превышает указанное выше значение и равна
F( 1/3 <ц <0,5) = ^l.
1.7. Поскольку диск первоначально покоился и его угловую скорость увеличивают с постоянным угловым ускорением є, по аналогии с законами изменения проекции скорости и координаты точки при прямолинейном равнопеременном движении можно утверждать, что к моменту времени т после начала раскручивания угловая скорость диска должна стать равной ю(т) = є т, а диск должен повернуться на угол ф(т) = єт2/2. Поскольку за один оборот диск поворачивается на угол 2 к, а по условию задачи диск за время т совершил п оборотов, то из написанных выше выражений следует, что диск раскручивали с угловым ускорением є = 4ялі/т2 .