Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алешкевич В.А. -> "Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000" -> 23

Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.

Алешкевич В.А., Грачев А.В., Грибов В.А. Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 — МГУ, 2000. — 121 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachivstupitelnihexamenoviolimpiad2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 42 >> Следующая


f = g

т -

(r~h)F

gyl(2r-h)h

О при

mgyj(2r-h)h при F<---= F1,

r-h F > F1.

1.6. При решении задачи будем полагать, что крышка стола покоится относительно инерциальной системы отсчета, куб и крышка являются твердыми телами и можно пренебречь действием воздуха. По условию задачи под действием приложенной к нити силы куб должен начать поворачиваться без скольжения. Поскольку нить прикреплена к середине одного из верхних горизонтальных ребер и ее тянут перпендикулярно этому раэ-ру, из соображений симметрии можно утверждать, что куб должен начать поворачиваться вокруг одного из нижних ребер, параллельных тому ребру, к середине которого прикреплена нить. На рис. 56 показаны сечения куба

F Wg

1 тр4 "

вертикальной плоскостью, в которой располагается нить. Здесь же показаны силы, действующие на куб, когда за нить тянут вниз или вверх под углом а і к горизонту с силой F/ такой, что при ее незначительном увеличении куб начал бы поворачиваться. В первом случае угол наклона нити к горизонту Oii будем считать отрицательным, а во всех остальных - положительным, причем 0<а2 < к/4, я/4 < Ot3 < 7t/2. Поскольку куб является однородным, действующая на него сила тяжести mg (где g - ускорение свободного падения) приложена к центру куба. Результирующая сил реж-ции крышки, как это обычно и делают, изображена в виде двух составляющих: нормальной N, и тангенциальной Flpf. Точки приложения этих составляющих в первом и втором случаях обозначены на рис. 56 символом Oi, а в третьем и четвертом - O2.

69 Решения задач. Механика

Поскольку куб не должен скользить по крышке, при сделанных выше предположениях и с учетом соглашения о правиле знаков при отсчете угла наклона нити к горизонту, согласно первому закону Ньютона должны выполняться равенства:

Nj-mg+ Fj sina,=0, (1)

Frpi-Fj cosa, = 0, (2)

где і = 1,2,3,4.

Поскольку при незначительном увеличении силы, действующей на куб со стороны нитн, он начинает поворачиваться, то алгебраическая сумма моментов сил в рассматриваемых случаях должна быть равна нулю. Поэтому в первом и втором случаях, выбирая в качестве оси вращения ребро куба, проходящее через точку O1, и вспоминая определение момента силы относительно данной оси, в соответствии со сказанным получим:

0,5amg-aF, cosa, =0, (312)

где і - 1, 2. В третьем и четвертом случаях из сказанного ранее следует, что

0,5amg -a Fi Sina3 + aF3 cosa3 = 0, (З3)

0,5amg-aF4 Sina4-aF4cosa4 =0. (34)

Во всех случаях согласно закону Кулона величина тангенциальной составляющей силы реакции крышки - силы сухого трения покоя - не может превышать произведения коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. должно соблюдаться неравенство

^V • (4)

Из уравнений (3[ 2) следует, что величина силы натяжения ннти в первом и втором случаях должна быть равна Fj = mg/2cosa,, причем согласно уравнениям (1), (2) из неравенства (4) в этих случаях tga, <2-1 /ц. Поскольку по условию задачи ц<0,5, то tga, <0. Учитывая, что в первом случае - я/2 <a 1 <0, а во втором случае 0 < а2 < тг/4, можно утверждать, что второй случай при заданных условиях не реализуется, а в первом случае cosa, < ц/y]5\i2 - 4|д +1 и, следовательно,

_У5ц2-4ц + 1

[min --^-т S '



70 Физический факультет МГУ

причем у/5- 4/ц + VH2 > 1, т.к. ц < 0,5.

mg

В третьем случае согласно уравнению (З3) F3 =-, а из

2(sina3 -COsa3)

соотношений (1), (2) и (4) вытекает, что Cosa3 <(sina3 -2cosa3)n- Следовательно, этот случай может иметь место, причем

F-mg^F ч

jttiifi--rImin' W3J

и нить следует тянуть вертикально вверх.

Наконец, в четвертом случае из уравнения (34) получим

F mg mg С5

Г 4-——---7=-5 Р4

2(sma4+cosa4) 2V2sm(a4 + я/4)

причем из соотношений (1), (2) и (4) следует, что

Ctga4 <—~ - (54а)

1-2ц

Поскольку максимального значения синус угла достигает тогда, когда угол становится равным я/2, то искомая величина силы натяжения нити минимальна при a4 = я/4 и равна

с( п) mS F4 a4 =-| = -

4 J 2л/2'

Конечно, это утверждение будет верно, если при этом выполняется соотношение (54а), т.е. имеет место неравенство 1/3 < ц.

Если же О < ц < 1/3, то нить следует тянуть под углом

a4 = arccos[n/7(l - 2ц)2 + ц2 ]. При этом искомая сила натяжения нити должна быть равна

2(1 -ц)

71 Решения задач. Механика

Итак, при О < ц < 1/3 нить следует тянуть так, как показано на рис. 24, под углом oi4 = arccosfn/yj{ 1 — 2ц)2 +ц2] к горизонту с силой

F(0S ^ 1/3) = 2^

2(1 -ц)

Если же 1/3 < fx < 0,5, то к нити следует прикладывать силу, направленную под углом а4 = л/4 к горизонту, величина которой не превышает указанное выше значение и равна

F( 1/3 <ц <0,5) = ^l.

1.7. Поскольку диск первоначально покоился и его угловую скорость увеличивают с постоянным угловым ускорением є, по аналогии с законами изменения проекции скорости и координаты точки при прямолинейном равнопеременном движении можно утверждать, что к моменту времени т после начала раскручивания угловая скорость диска должна стать равной ю(т) = є т, а диск должен повернуться на угол ф(т) = єт2/2. Поскольку за один оборот диск поворачивается на угол 2 к, а по условию задачи диск за время т совершил п оборотов, то из написанных выше выражений следует, что диск раскручивали с угловым ускорением є = 4ялі/т2 .
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed