Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
на гладкой горизонтальной поверхности и толщина доски постоянна, то уравнения движения груза и доски в проекциях на ось OX должны иметь вид: тах = f - F и MAx =2 F-Jjf, где ах и Ax - проекции ускорений груза и доски на ось ОХ.
Учитывая, что груз при указанных условиях не движется по вертикали, иа основании второго закона Ньютона можно утверждать, что величина N нормальной составляющей силы реакции доски на груз равна т g, где g— величина ускорения свободного падения. Тангенциальная же составляющая силы реакции доски на груз - сила сухого трения Tip - согласно закону Кулона не может быть по модулю больше \iN.
Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте трения груз не будет скользить по доске. Поэтому его ускораше относительно доски будет равно нулю и, следовательно, Ax = ах. В этом случае, складывая приведенные выше уравнения движения груза и доски, получим: Ax = ах = F/(m + М). Поскольку при этом сила сухого трения является силой сухого трения покоя, то ее величина не может превышать своего максимального значения, т.е. Jrp^iimg. Из сказанного следует, что груз не
(2 m + M)F
будет скользить по доске, если ц 2. цті„ =---. Если же Ц <Цт,„,
(т + М)т g
66 Фіаический факультет МГУ
то, полагая, как обычно, величину коэффициента трения скольжения не зависящей от скорости скольжения и равной максимальному значению коэффициента трения покоя, из приведенных выше соотношений получим: ах ~ M S ~ F/m ¦ Итак, при выполнении сделанных предположений искомое ускорение груза относительно стола равно:
a = F
1
т + М Hg 1 F т
при
при ц<
(2m + M)F (т + M)mg' (2m + M)F (т + M)mg
1.4. При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение тел системы и считать лабораторную систему, отго-сительно которой покоится ось неподвижного блока, инерциальной. Поскольку отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны и действующие на грузы силы тяжести направлены вертикально, можно утверждать, что и ускорения грузов должны быть направлены вертикально. Если использовать обозначения, показанные на рис. 54, то, учитывая, что по условию задачи нити являются нерастяжимыми, и считая блоки идеальными цилиндрами, вращающимися вокруг своих геометрических осей, можно утверждать, что координаты грузов должны удовлетворять соотношениям: 2xl(t)-x2(t) = C1, X2(J) + x3(t) = C2, где С, и C2 - постоянные величины, определяемые длиной нитей и радиусами блоков. Из этих соотношений следует, что проекции ускорений грузов на ось OX не являются независимыми и подчиняются соотношению: 2axl = ах2 = -ах3.
Поскольку по условию задачи нити являются невесомыми, а массой блоков и трением в их осях следует пренебречь, то величина силы натяжения нити, перекинутой через подвижный блок, в любом ее сечении должна быть неизменной, как и величина силы натяжения второй нити, перекинутой через неподвижный блок. Если величину силы натяжения первой нити обозначить F1, а второй - F2, то на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что уравнения движения грузов в проекциях на ось выбранной лабораторной системы отсчета должны иметь вид:
67 Решения задач. Механика
т\ aXi-mIS-^Fl, т2ах2 =m2g + Fl-F2, m3ax3=m}g - F2,
где g - величина ускорения свободного падения. Умножив последние два уравнения почленно на 2 и -2 соответственно и затем сложив их с уравнением движения первого груза, с учетом полученного ранее соотношения между ускорениями грузов определим искомое ускорение первого груза:
mI +4(«2 +тъ)
1.5. Поскольку шар и брусок по условию задачи следует считать гладкими, то действующие на эти тела силы реакции опор могут иметь лишь составляющие, направленные по нормалям к границам этих тел в точках их соприкосновения с другими телами. Обозначим силы, действующие на шар со стороны пола и со стороны бруска, п и N, соответственно. Как обычно, будем считать инерциальной лабораторную систему, относительно которой пол и стена неподвижны, и пренебрежем влиянием воздуха на
рассматриваемые тела. Тогда, с учетом обозначений, приведенных на рис. 54, на основании второго и третьего законов Ньютона можно утверждать, что шар и брусок могут оставаться неподвижными, если пу + Nsina = mg и F = Ncosa, где g - величина ускорения свободного паде-^ ния. Обратившись вновь к рис. 55, можно
доказать, что вплоть до момента отрыва шара от пола величина угла а должна удовлетворять соотношению:
tga = (г - h)j-Jr2 - (г- h)2 , а потому пу = mg-(г - h)F/J(2r - h)h . В условии задачи специально не оговорено, что между шаром и полом существуют силы притяжения. Поэтому можно утверждать, что при наличии контакта шара с полом возможные значения нормальной составляющей силы реакции пола на шар должны удовлетворять условию: пу > 0. Следовательно, при наличии контакта шара с полом действующая на брусок сила не может превышать определенного значения, а именно ее величина должна удовлетворять неравенству: F < тg yl(2r - h)h/(г - h). Учитывая, что
68 Фіаический факультет МГУ
согласно третьему закону Ньютона искомая сила f давления шара на пол должна быть равна - n, получим:
