Задачи вступительных экзаменов по физике. Выпуск 8 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
26
Физический (Ьакультет МГУ Решения задач. Механика
кореиия в данном направлении, на основании последнего соотношения можно утверждать, что составляющие ускорений бруска и клина, входящие в уравнения движения этих тел, связаны между собой соотношением: ау = (ах - Ax ) tg а. Из этого выражения и уравнения движения бруска следует, что т Ax sina = w gcosa-N. Умножая обе части полученного соотношения на sina и складывая результат с первым уравнением движения клина, получим, что ускорение клина при F < т gsina
wgsina-F
Таким образом:
А =
Ax =—s-T-cosa.
т sin a + M
О при F > mgsina
m gsina-F _
—-cosa при F < wgsma
т sin" a + M
1.5. При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение снаряда и его частей. Будем решать задачу, используя декартову систему координат, ось OX которой направлена вдоль горизонтальной составляющей начальной скорости снаряда, а ось OY - вертикально вверх. Обозначим скорости частей снаряда сразу после взрыва «і и Ui- Поскольку после взрыва первая часть снаряда по условию задачи полетела вертикально, то горизонтальная составляющая ее скорости сразу после взрыва м1х = 0. С учетом всего сказанного, пренебрегая импульсом сил тяжести за время взрыва и массой сгоревшей во время взрыва части снаряда, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка м2х = 2 v cosa. При этом было учтено, что снаряд разорвался на две равные части. Поскольку взрыв снаряда произошел в верхней точке траектории, то согласно закону сохранения импульса при сделанных предположениях вертикальные составляющие скоростей осколков должны удовлетворять соотношению: м1у + M2y = 0. Учитывая, что по условию задачи |'и,! = и|и,|, |и,|=Jm1j J
Физический Факультет МГУ
: 27 (Ъимпиадные задачи и задачи вступительных экзаменов по физике. Вып. 8
/
/
и Iu2 ¦ = ^ufx + и2у , из составленных уравнений следует, что скорость первого осколка сразу после взрыва при сделанных предположениях должна быть равна Ul = Iv ¦ (п2 -1)"0,5 cos а. После взрыва оба осколка совершают . свободное падение. Следовательно, один осколок относительно другого движется с неизменной скоростью, а потому искомое расстояние должно быть равно L(T) = UmiT, где um=ut-u2. Из этих соотношений после алгебраических преобразований получим:
__In J
L(t) = гЛ/(2vcosj2)3+(2u,)2 = Ivt -cosa.
. \ п — 1
1.6. При решении задачи будем полагать, что после каждого ударі шайба движется поступательно. Отметим, что это возможно только в том случае, когда линия действия импульса сил, приложенных к шайбе во время удара, проходит через ее центр масс. Будем так же считать, что сопротивление движению шайбы обусловлено лишь действием иа нее силы сухого трения со стороны стола, а величина силы сухого трения во всех трех случаях остается неизменной и равной маіЬдаальному значению силы сухого трения покоя F = /um g, где р - коэффициент трения, т -масса шайбы, а g - ускорение свободного падения. Поскольку шайба после ударов движется по горизонтальной плоскости, следует считать, что по- -тенциальная энергия системы «шайба-Земля» остается неизменной. Поэтому, обозначив скорость шайбы непосредственно после P2 удара ц, на основании закона изменения кинетической энергии получим, что т и? /l = F Si, т.к. направление силы сухого трения скольжения противоположно направлению движения шайбы. Учитывая, что во время третьего удара/импульс внешних сил по условию должен быть равен сумме импульсов сил, действовавших на шайбу при первых двух, можно утверждать, что скорость шайбы непосредственно после этого удара должна была бы стать равной V3 =V1+ V2- Отсюда следует, что после третьего удара кинетическая энергия шайбы Wx3 = т v\ /2 = т (vf + v\ + 2 vx V2 cosa)/2, а потому
28
Физический факультет МГУ решения задач. Механика
расстояние, на которое переместилась бы шайба после этого удара, должно
быть равно Si = V~' =J1 +J2 + 2 Jjjj2 cos а = 1,27 м.
2 Mg
1.7. При решении задачи будем использовать такую инерциальную декартовую систему координат, относительно которой скорость шарика перед первым ударом можно представить в виде: v = (i + j) v/Л, где inj -единичные векторы, параллельные осям OX и OY, соответственно. Поскольку силы тяжести и реакции стола не совершают работы при движении рамки и шарика, удары этих тел по условию задачи являются абсолютно упругими и сил трения нет, то механическая энергия шарикІї и рамки должна оставаться неизменной. Неизменной должна оставаться и сумма импульсов этих тел. Согласно условию задачи при указанном выборе системы координат первый раз шарик должен удариться о середину стороны рамки, параллельной оси OY. Во время этого удара силы взаимодействия шарика и рамки могут быть направлены только перпендикулярно стороне рамки, о которую ударяется шарик, а потому линия действия этих сил должна проходить через центр масс рамки. Следовательно, после удара рамка должна двигаться поступательно параллельно оси OX со скоростью Upl такой, что
