Задачи вступительных экзаменов по физике. Выпуск 8 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
к Al} к Ax2 WU2ax /АГ л .
-= —:— +-— + JJmg(AL-Ax).
2 2 2 5
Из сказанного следует, что максимальная скорость бруска при сделанных предположениях должна быть равна
О при к AL й Ji т g
JIUL-eJ1) при kAL>fimg-
38
Физический (Ьакультет МГУ Решения задач. Механика
1.15. При решении задачи будем, как обычно, предполагать, что лабораторная система отсчета, относительно которой верхняя точка пружины остается неподвижной, является инерциальной. Следует также считать, что деформации пружины являются абсолютно упругими, а действием воздуха на пружину и груз можно пренебречь. Тогда согласно закону Гука масса груза т и жесткость пружины к должны удовлетворять условию: (L-L0)k = m g, где g - величина ускорения свободного падения. Кроме того, при смещении груза вертикально вниз на расстояние х результирующая силы тяжести и силы упругой деформации пружины будет равна (х +L-L0) к-т g = kx и направлена к положению равновесия. Следовательно, уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось OX после смещения из равновесного положения, принятого за начало отсчета, будет иметь вид: тх = -кх. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты a>s равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно In, для периода малых вертикальных колебаний получим
Tb=In^mfk.
При незначительном отклонении груза в горизонтальном направлении от положения равновесия величина силы натяжения пружины, а следовательно, и ее длина, должны практически остаться неизменными. Учитывая, что при прохождении положения равновесия после такого отклонения скорость груза (а потому и его центростремительное ускорение) должна быть достаточно малой, можно пренебречь изменением длины пружины при таких колебаниях. Поэтому для вычисления периода малых колебаний груза в горизонтальном направлении можно воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника
Tt = 2» VZTiF-
Поскольку по условию задачи п = TrJTt, то т g/k = Ljn2, а искомая длина пружины в недеформированном состоянии должна быть равна
Физический Факультет МГУ
: 39 Олимпиадмые задачи и задачи вступительных экзаменов по физике. Вып. 8
L0=L-Lfn2 =81/9.
1.16. Из условия задачи следует, что стержень и прикрепленная к нему муфта после обрыва нити могут двигаться только поступательно по вертикали. Поэтому для ответа на вопрос задачи достаточно найти закон движения любой точки муфты. Если ось OX направить вертикально вниз и выбрать начало отсчета на этой оси совпадающим с точкой А, то до момента обрыва нити координата хс точки С на оси стержня на уровне, на котором находился бы верхний торец муфты при недеформи^ованной пружине, по условию задачи будет равна -Sx. После обрыва'нити (? > 0) на стержень.будут действовать сила тяжести Mg и сила F со стороны пружины, т.к. сил трения нет. Полагая, как обычно, что точка А покоится относительно инерциальной системы отсчета, уравнение движения стержня можно записать в виде: M xc= M g + Fx, где хс и Fx - проекции ускорения стержня и силы F на ojjjb ОХ. По условию задачи масса муфты т много меньше массы стержня М. Учитывая, что в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, можно предположить, что максимальное значение Fx не должно превышать mg, а потому при t > 0 стержень будет двигаться практически с постоянным ускорением g. Следовательно, закон движения стержня прй сделанном предположении должен иметь вид: xc(t) = x0-Sx + gt2/2.
Поскольку на муфту действуют только сила тяжести и невесомая пружина, то уравнение движения муфты в проекции на ось Отбудет иметь вид: т хм = т g - Fx, где хм - !^ордината верхнего торца муфты. Если коэффициент жесткости пружины обозначить к, то на основании закона Гука можно утверждать, что Fx= к x(t), где x(t) = хм (ґ) - хс (?). Поскольку х:м = X + хс = X + g, то, уравнение движения муфты можно представить в виде: mx + mg = mg-kx, или тх = -кх. Учитывая, что х(0) = Sx = = mgjk, и в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, т.е. х(0) = 0. решение уравнения движения муфты относительно стержня можно записать в виде: x(t) -Sx- cos Поскольку максимальное 40 ¦_;_' _Физический факультет МГУ Решения задач. Механика
значение косинуса не превышает единицы, то действительно LFx j < k Sx = — mg, а потому искомый закон движения муфты относительно точки А при ? >'О будет иметь вид:
1.17. Звуковая волна в воздухе представляет собой последовательность разрежений и сжатий, распространяющихся со скоростью с, определяемой только свойствами воздуха. Расстояние между соседними максимумами сжатия (или разрежения), т.е. ближайшими точками вдоль направления распространения звука, колеблющимися с точностью до 2 л- в одинаковой фазе, равно длине волны. Если бы автомобиль был неподвижен относительно воздуха, Т9 это расстояние было бы равно A0 = с T0, где Го - период колебаний звукового сигнала. Полагая воздух в среднем неподвижным относительно дороги, а направление скорости автомобиля практически совпадающим с прямой, проведенной от автомобиля к пешеходу, можно утверждать, что расстояние между ближайшими друг к другу максимумами сжатия, воспринимаемыми пешеходом, будет отличаться от A0 на величину смещения автомобиля за период колебаний, равную vT0. Частота звука,., воспринимаемого пешеходом, равна числу максимумов сжатия, приходящих к нему в расчете на единицу времени. Поэтому воспринимаемая пешеходом частота звука от приближающегося автомобиля должна быть равна v+ = с/А+ = с/[(с - и) ¦ Г0] = V0 с/(с - и), а от удаляющегося -v. = с/А_ = с/[(с + V) ¦ r0] = v0 c/(c + v), где ц, = 1/7о - частота звука, издаваемого автомобилем. Отсюда следует, что после того, как автомобиль проедет мимо пешехода, воспринимаемая пешеходом частота звука уменьшится в и раз, равное
