Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алешкевич В.А. -> "Задачи вступительных экзаменов по физике " -> 12

Задачи вступительных экзаменов по физике - Алешкевич В.А.

Алешкевич В.А. , Иванов В.Ю., Кокшара Ю.А., Миронова Г.А. Задачи вступительных экзаменов по физике — МГУ, 1998. — 80 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachavstupitelnihexamenov1998.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 24 >> Следующая


1.14. Если, как обычно, считать, что наклонная плоскость покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то в положении равновесия, во-первых, сила натяжения нити, действующая на поршень, должна уравновешивать действие силы тяжести, силы атмосферного давления, силы давления газа и силы реакции стенок цилиндра на поршень. Во-вторых, должна быть равна нулю геометрическая сумма сил реакции наклонной плоскости, натяжения нити и тяжести, действующих на брусок. Поскольку сил трения нет и нить невесома, то сила натяжения не может изменять своей величины вдоль нити, и поэтому должны выполняться соотношения:

mg + Spa = Fp +Sprp, m g sin a = Fp ,

где g - величина ускорения свободного падения, Prp - давление газа в цилиндре, a Fp - модуль силы натяжения нити при равновесии. При составлении этих уравнений в соответствии с рисунком, приведенным в условии задачи, считалось, что отрезок нити между блоком и поршнем вертикален, а между блоком и бруском — параллелен наклонной плоскости. Кроме того, было учтено, что силы натяжения нити, действующие на поршень и брусок, могут быть направлены только вверх вдоль осей соответствующих отрезков нити.

Если расстояние между дном поршня и дном цилиндра при равновесии обозначить L, то из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что давление газа под поршнем в рассматриваемом состоянии должно быть равно

vRT Решения задач. Механика

39

При смещении поршня от равновесного положения вниз по вертикали на расстояние х давление в цилиндре должно увеличиться до величины

и, следовательно, поршень должен иметь ускорение, направленное вертикально вверх и равное

где F - величина силы натяжения нити, действующей на поршень в рассматриваемый момент времени. По условию блок невесом. Поэтому (с учетом ранее сделанных предположений) можно считать, что и на брусок нить в указанный момент времени будет действовать с силой, величина которой равна F, а ускорение бруска на основании II закона Ньютона должно быть равно по модулю

и направлено вниз вдоль наклонной плоскости. С другой стороны, в силу нерастяжимости нити и стандартных предположений о геометрии блока можно утверждать, что а = аб, т.к. при малых колебаниях нить должна быть натянута.

Складывая почленно два последних уравнения и выражая из ранее составленных уравнений давление газа через положение поршня, получим

Из этого соотношения видно, что при малых смещениях (X « L) ускорение поршня пропорционально величине смещения и направлено противоположно этому смещению. Поэтому можно утверждать, что в рассматриваемой системе малые колебания бруска вблизи положения равновесия будут гармоническими, а искомая угловая частота этих колебаний должна быть равна

vRT

P --

F S(L-x)

a = S (р - ра )/m - g + F/m ,

а5 - gsina - F/m

со =

ра S + mg(l - sin a)

m vRT 40

Задачи всту nv тег, оных экзаменов по физике. Вып.7

т.к. при гармонических колебаниях отношение величины смещения к модулю проекции ускорения на направление смещения обратно пропорционально квадрату угловой частоты колебаний, а из первых трех уравнений следует, что

vRT

L =-

ра S + mg(l - sin а) •

В заключение отметим, что колебания в данном случае следует считать малыми, если не только амплитуда Xm смещений бруска и поршня от положения равновесия много меньше высоты L столба газа в цилиндре при равновесии, но и со2 xm < g sin а ¦

1.15. Будем решать задачу в лабораторной системе отсчета, ось OX которой направлена вертикально вниз, а начало отсчета - точка 0 — совпадает с положением точки крепления пружин при равновесии груза. Если груз переместится вниз на небольшое расстояние x, то оси крайних пружин займут положение, показанное на рисунке пунктирной линией. Поскольку смещение груза от положения равновесия мало, можно считать, что удлинение крайних пружин будет равно х cos a , а действующая со стороны каждой из крайних пружин сила будет направлена вверх под углом ос к вертикали и увеличится на величину F2 =k2xcosа. Действующая же на груз сила со стороны средней пружины увеличится на величину F1 = ktx. Пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, силами трения и считая выбранную лабораторную систему инерциальной, на основании сказанного выше и II закона Ньютона уравнение движения груза с учетом невесомости пружин можно представить в виде Решения задач. Механика

41

m X = -kj X - 2 к2 X cos2 а .

Из этого уравнения видно, что ускорение груза х пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в сторону, противоположную смещению. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты со равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно 2 к , вычислим искомый период малых вертикальных колебаний груза:

T = ^ = 2nl--m ,

СО "У kt + 2k3 cos а

1.16. Поскольку оси пружин параллельны гладкой горизонтальной поверхности стола, совпадают между собой и проходят через центр масс доски, центр масс кубика располагается над центром масс доски, а доску смещают от положения равновесия вдоль оси пружин, можно считать, что после ее отпускания доска и кубик будут двигаться поступательно. Принимая лабораторную систему отсчета, ось OX которой совпадает с осью пружин, а начало отсчета - с положением центра масс доски при равновесии, за инерциальную, считая толщину доски постоянной, уравнения движения доски и кубика на основании II закона Ньютона можно записать в следующем виде
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 24 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed