Задачи вступительных экзаменов по физике - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Fcp = (v/t -g sin a) m.
1.9. Как обычно, при решении данной задачи будем считать, что из-за малой длительности удара изменением положения и скорости доски, как и изменением положения шайбы, за время удара можно пренебречь. Будем пренебрегать и действием на доску и шайбу всех сил, за исключением сил тяжести и силы реакции плоскости, по которой может двигаться доска. Лабораторную систему, неподвижную относительно указанной плоскости, будем считать инерциальной, а возникшее в результате удара движение шайбы - поступательным. Кроме того, будем считать, что толщина доски постоянна, и, следовательно, шайба может двигаться лишь горизонтально.
Поскольку плоскость является гладкой горизонтальной, то сила ее реакции может быть направлена только вертикально. Вертикально же направлены и силы тяжести. Поэтому согласно закону сохранения импульса горизонтальная составляющая импульса системы "шайба - доска" после удара изменяться не может. В силу сделанных предположений импульс рассматри- Решения задач. Механика
33
ваемой системы сразу после удара должен быть равен импульсу шайбы, а после прекращения скольжения шайба и доска должны двигаться поступательно с такой скоростью v , что
(m + М) vK = т V .
При скольжении на шайбу и доску действуют силы сухого трения. При сделанных предположениях величина этих сил, в соответствии с законом сухого трения, равна (Xmg, где g - величина ускорения свободного падения, причем направление силы трения, действующей на доску, совпадает с направлением движения доски, а на шайбу ~ противоположно направлению ее движения. Поэтому при наличии скольжения работа сил трения над доской к тому моменту, когда она переместилась от своего исходного положения на расстояние L, равна Атр д - Ц m g L > 0 ,
работа же сил трения над шайбой Атр ш = -ц m g (L + х) < 0, где
L — перемещение доски относительно выбранной системы отсчета с момента начала движения, ах- перемещение шайбы относительно доски за тот же промежуток времени. За счет работы сил трения скорость доски увеличивается, а шайбы - уменьшается. Как только скорости доски и шайбы становятся одинаковыми, шайба перестает скользить по доске, и действие сил трения прекращается. Учитывая, что работа сил тяжести над телами системы равна нулю (направление этих сил перпендикулярно перемещениям тел) и что при сделанных предположениях кинетическая энергия рассматриваемых тел сразу после удара в выбранной системе отсчета равна кинетической энергии шайбы, а после прекращения скольжения — кинетической энергии шайбы и доски, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что
mv2 (m + М) V2
— =-~+
где хк - перемещение шайбы относительно доски за время действия сил трения скольжения. Отсюда с учетом соотношения между начальной и конечной скоростями шайбы найдем, что искомое перемещение в рамках сделанных предположений должно быть равно 3-206 34
Задачи вступуте.г.оных экзаменов по физике. Вып.7
Mv2
X
к
2^g(m + М)'
1.10. Поскольку длительность удара по шарику много меньше периода его малых колебаний, можно считать, что за время удара шарик не смещается от своего положения равновесия. Учитывая, что до удара сила натяжения нити и сила тяжести, действовавшие на шарик, были направлены вертикально, удар нанесен в горизонтальном направлении, и действием сил трения следует пренебречь, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что после удара шарик будет иметь скорость V = f t/m, где f - искомая величина средней силы удара. После удара шарик начнет двигаться по дуге окружности радиуса L.
Если h < L , то шарик все время будет двигаться по дуге окружности. Тогда на основании закона сохранения механической энергии, рассматривая шарик, нить и Землю, как изолированную консервативную систему, можно утверждать, что должно выполняться соотношение
где g - ускорение свободного падения. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае
Если L < h < 2L , то шарик сойдет с дуги окружности в точке, где сила натяжения нити обратится в нуль, а центростремительное ускорение будет обеспечиваться только проекцией силы тяжести на нить, т.е. когда его скорость за счет увеличения потенциальной энергии системы "шарик-нить-Земля" станет равной v0, удовлетворяющей условиям
mVq/l = mg(h-L)/L и mv2/2 = mVg/2 + mgh .
Поэтому в данном случае искомое значение средней силы удара должно быть равно
mv2/2 = mg h ,
f = mV(3h-L)g/T. Решения задач. Механика
35
Если же, наконец, h = 2L, то шарик все время после удара будет двигаться по окружности, и можно определить лишь минимальное значение средней силы удара. Если обозначить скорость шарика в верхней точке траектории vB, то из условий
mv2/2 = mv2/2 + 2mgL и mv2/L>mg следует, что в последнем случае
f > m^5g L/т.
1.11. На рисунке показаны силы F, действующие в горизонтальном направлении на одну из муфт со стороны прикрепленных к ней пружин, когда стержень вращается с такой угловой скоростью (О, при которой длина пружин увеличилась в п раз. При этом учтено, что оси пружин образуют правильный треугольник. Из приведенного рисунка с учетом II закона Ньютона и закона Гука следует, что
